[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar pouik » Mardi 23 Janvier 2007, 20:55

Bonjour,
Désolé pour le retard, je propose donc :

$$ \dfrac{t^2}{2\pi}-t \sim \dfrac{t^2}{2\pi}$$


non ??

et

$$2\sin{\dfrac{t}{2}} \sim t$$


non ??
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Messagepar guiguiche » Mardi 23 Janvier 2007, 21:13

Si le premier équivalent est au voisinage de 0 alors il est faux (mais il est correct au voisinage de l'infini).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 06:38

Je propose sinon :

$$\dfrac{t^2}{2\pi}-t \sim -t$$



Est-ce correct ??
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 08:07

pouik a écrit:Je propose sinon :

$$\dfrac{t^2}{2\pi}-t \sim -t$$



Est-ce correct ??
Oui, en $0$....
PS : j'ai fait mon mea culpa dans mon post précédent :oops: : je ne sais si tu l'as lu :roll:
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Messagepar guiguiche » Mercredi 24 Janvier 2007, 11:26

pouik a écrit:Je propose sinon :

$$\dfrac{t^2}{2\pi}-t \sim -t$$



Est-ce correct ??

Je ne sais pas ce que préconise ton professeur mais il me paraît pour le moins évident et nécessaire de toujours mentionner le "lieu" de l'équivlence en ce qui concerne les fonctions (pour les suites, c'est moins problématique).
Dernière édition par guiguiche le Mercredi 24 Janvier 2007, 13:47, édité 1 fois.
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 13:44

bonjour,
Tout d'abord oui j'ai remarqué votre mea coulpa kojak, et sinon bien sûr que c'est en $0$ (sûr ma copie je le mettrais bien evidemment), je répondais à ce qui est souligné dans le précédent message de kojak.

kojak a écrit:Pour la continuité, peux tu écrire un équivalent de $\dfrac{t^2}{2\pi}-t$ en $0$.
Idem au dénominateur. Et c'est règlé...

[EDIT kojak : je ne connaissais pas ce théorème que tu appelles Théorème Limite de la Dérivée, et c'est vrai que c'est un théorème dont je ne me rappelais plus : en effet, au lycée, en Term S, il n'est pas au programme et donc nous sommes obligés de revenir à la définition du nombre dérivé en $0$ afin de montrer que $\phi'(0)=\lim\limits_{t \to 0}\phi'(t)$ mais en supérieur si, donc pas besoin et alors tu peux conclure directement, donc mea culpa :oops: ]


et donc finalement par quotient, au voisinage de $0$, on a :

$$\phi(t) \sim -1$$



donc $\phi$ est continue en $0$, donc d'après le Théorème Limite de la Dérivée, $\phi$ est finalement de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$.

Est-ce correct ??
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 13:49

Bonjour Pouik,

Pour moi, pas de problème : c'est règlé :P
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 14:24

EN fait, il y a encore une ultime question dans ce problème que je n'arrive pas à résoudre, la voici :
__________________________

On pose :

$$S_n(2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}$$


et $\zeta(2)$ sa limite, c'est-à-dire :

$$\zeta(2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}$$


et j'ai également établi l'égalité suivante :

$$\dfrac{\left(\cos{\dfrac{(n+1)}{2}t}\right) \left(\sin{\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)t\right)}\right)}{\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$



donc en utilisant tout ce qu'on a fait et ces données, il faut répondre à la question :
4. Etablir, pour tout $n \in \N^*$, l'égalité :

$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$$


NB : Les intégrales ont lieu sur $]0;\pi]$ et non sur $[0;\pi]$. On se précoccupera donc des questions de rigueur.


Et en fait je ne vois pas du tout comment faire cette question :no: :no: donc si vous pouviez m'aider ce serait absolument, merveilleusement génial .... :yikes:
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 14:51

Il faut que tu rassembles tes différents résultats...
$\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{t^2}{2\pi}-t\right)\cos kt dt=\dfrac{1}{k^2}$ (relation 1): d'ailleurs, je ne sais pas si tu avais corrigé un de tes premiers posts....
Dans $S_n(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$, tu remplaces $\dfrac{1}{k^2}$ par (relation 1).
tu obtiens $S_n(2)=\sum\int \ldots$
tu peux intervertir le sigma $\sum$ et le signe $\int$ car tu as une somme "finie".
Ensuite $\sum \cos kt$ tu le remplaces par $ \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$.
Tu sépares ton intégrale en 2, et comme par hasard, tu vas reconnaitre ta fonction $\phi$ dans le premier morceau... et le tour est joué...

[Edit Kojak ]
Dernière édition par kojak le Mercredi 24 Janvier 2007, 15:01, édité 2 fois.
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 14:58

Excusez moi mais pourriez vous faire un petit edit sur votre dernier message : il y a des trucs qui ne sont pas passés et comme je ne connais pas ces codes...

Merci d'avance.

[EDIT kojak : c'est fait ...]
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 15:39

Je bloque un peu à la fin :

$\longrightarrow$ On a établi à la question 1.(a)ii. l'égalité suivante :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \dfrac{1}{k^2}$$



D'autre part \emph{par définition} de $S_n(2)$, on a :

$$S_n(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$$



donc a fortiori :

$$S_n(2)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$$



Arrivé là, on peut intervertir $\sum$ et $\int$ car il s'agit d'une somme "finie" ;

d'où :

$$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$$



Or, on a établi à la question précédente l'égalité suivante :

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$



d'où en remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :

Arrivé là je bloque !!! :oops: :oops:
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 15:42

pouik a écrit:d'où :

$$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$$

que tu peux écrire

$$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\sum_{k=1}^n \cos{kt} dt$$


pouik a écrit:Or, on a établi à la question précédente l'égalité suivante :

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$



d'où en remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :

t'as plus qu'à remplacer :P
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 16:04

okay donc je propose :

d'où :

$$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt}\right) dt$$



c'est-à-dire :

$$S_n(2)= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos{kt}\right) dt$$



Or, on a établi à la question précédente l'égalité suivante :

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos{kt} = \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}$$



d'où en remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :

$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} - \dfrac{1}{2}\right) dt$$



c'est-à-dire :

$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\dfrac{\sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} dt + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\left(- \dfrac{1}{2}\right) dt$$



c'est-à-dire :

$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\left(\dfrac{t}{2}\right)}} \sin{\dfrac{(2n+1)}{2}t}} dt + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\left(- \dfrac{1}{2}\right) dt$$



c'est-à-dire :

$$S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\dfrac{(2n+1)}{2}t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$$



c'est-à-dire :

$$\boxed{S_n(2) = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t) \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt}$$



PS : A t on tenu compte du NB ??
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 16:33

OK, ça roule... :P
pouik a écrit:PS : A t on tenu compte du NB ??

Ben, moi, je ne vois pas où est le problème de ce NB :roll: car tu intègres sur $[0,\pi]$ et toutes tes fonctions à intégrer sont continues : en particulier pour $\phi$ car tu l'as démontré auparavant...
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Messagepar kojak » Mercredi 24 Janvier 2007, 17:25

Voici ton code corrigé :
Fichiers joints
pouik.tex
(19.46 Kio) Téléchargé 76 fois
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Messagepar pouik » Mercredi 24 Janvier 2007, 20:20

MErci infiniment.

Toutefois il reste une toute petite chose que je n'avais pas vu dans l'énnoncé, il faut déduire de cette égalité que :

$$\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$$



Donc je propose, d'après ce qui précède par passage à la limite dans l'égalité précédente ;
on a :

$$\zeta(2) = 0 - \dfrac{1}{2} \left(-\dfrac{\pi^2}{3}\right)$$



c'est-à-dire :

$$\boxed{\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}}$$



Est-ce correct ???
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Messagepar kojak » Jeudi 25 Janvier 2007, 10:27

Pour moi, oui....

Au fait : tu n'as pas répondu à nos différents posts pour savoir quel éditeur tu utilises pour taper ton tex. D'ailleurs, si c'est texniccenter, tu as des couleurs automatiquement, donc tu vois relativement bien où ça plante... car je ne pense pas qu'on continue à te débugger ton code tous les 4 matins : il faut que tu sois capable de la faire tout seul, car ce sont souvent des erreurs classiques....
Il faut prendre l'habitude lorsque tu mets un
Code: Tout sélectionner
\left machin
de mettre automatiquement un
Code: Tout sélectionner
\right. ou  \right machin
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Messagepar pouik » Vendredi 26 Janvier 2007, 13:59

Bonjour,
J'utilise TexcnicCenter mais le problème avec les couleurs c'est que quand il y a deux fautes assez proches, elles se compensent... et là impossible de voir où est l'erreur.
Par exemple : lui quand on utilise des intervalles ouverts ne comprend pas : $]...;...[$ car avec ces couleurs, il ferme l'intervalle trois lignes plus loin...

Sinon moi je ne demande qu'à apprendre comment trouver tout seul où sont les fautes : donc si vous avez une technique...

PS : Sinon merci infiniment pour toute votre aide si précieuse....
:v: :v: :thumbup1: :thumbup:
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Messagepar kojak » Vendredi 26 Janvier 2007, 14:12

Ben, il faut que tu lises dans ta fenêtre de sortie en bas de Texniccenter :
à moins qu'elle ne s'affiche pas auquel cas tu vas dans :
Voir / fichier de sortie
Et là en fait tu as ton fichier log..... en fait pas tout à fait mais tu as là le nombre d'erreurs, d'avertissement de "Bad Box"...

Ensuite, avec F9, ou avec l'icone dans la barre d'outil, il te dit à quelle ligne il y a une erreur et quel type d'erreur... comme ça tu sais où est ton erreur...
Idem pour les avertissements : F 10 ou icone
Bad Box : F 11 : pour ces 2 derniers, ce n'est pas grave si tu en as...

voilà tout..
bon courage :P

PS : c'est vrai que pour les crochets, il ne fait pas la différence, mais je crois que c'est l'exception (qui confirme la règle...)
pas d'aide par MP
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Messagepar Arnaud » Vendredi 26 Janvier 2007, 14:33

kojak a écrit:PS : c'est vrai que pour les crochets, il ne fait pas la différence, mais je crois que c'est l'exception (qui confirme la règle...)


"L'exception qui confirme la règle."

Ca ce n'est pas une doctrine pour matheux :P
Arnaud

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