[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar Tryphon » Dimanche 21 Janvier 2007, 13:57

Bon Pouik, un conseil : toute formule avec deux traits de fraction est à éviter autant que possible (sauf si c'est pour mettre en exergue une quantité). Mais des trucs du genre $\dfrac{\frac ab}{c}$, personnellement, ça me donne pas envie de lire :)
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 15:26

Okay désolé pour toutes les maladresses

donc par somme :

$$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}}  - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t^2}{2\pi} + o(t^2)$$



On a donc au voisinage de $0$ pour $t$ :

$$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}}  - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} \sim \dfrac{t^2}{2\pi}$$



donc par quotient :

$$\boxed{\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}}$$

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Messagepar kojak » Dimanche 21 Janvier 2007, 15:30

gagné :P
Et donc la suite, comme je t'ai déjà indiqué
pas d'aide par MP
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 16:06

On a par définition de la dérivée :

$$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} - \dfrac{\dfrac{0^2}{2\pi} - 0}{2\sin{\dfrac{0}{2}}}}{t-0}$$


c'est-à-dire :

$$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t} {2\sin{\dfrac{t}{2}}} - 0}{t-0}$$


c'est-à-dire :

$$\boxed{\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{t}{2\pi} - 1}{2t\sin{\dfrac{t}{2}}}}$$



Mais arrivé là je suis bloqué... :scared: :scared:
Ne faut-il pas à un moment utiliser ce qu'on a montré à la question précédente ?? :lunette: :lunette:

[Edit] : Milles excuses, j'avais pas vu que ca n'était pas passé...
Dernière édition par pouik le Dimanche 21 Janvier 2007, 16:56, édité 3 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 21 Janvier 2007, 16:13

Il va te falloir patienter jusqu'au retour de kojak (un tous cas, je n'ai pas envie d'examiner les 25000 posts de maths de ce topic).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar rebouxo » Dimanche 21 Janvier 2007, 16:57

Y'a un $t$ en trop. Une erreur de calcul dans ton $\phi'(0)$. et probablement une accolade qui manque.
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 16:57

25 000 : il ne faut pas éxagérer :renske: :renske: :nonono:
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 16:59

rebouxo : où y a t il un $t$ en trop car je ne vois pas bien !!

(A moins que c'était avant que j'ai réussi à faire mon Edit... :noodleman: :noodleman: )
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Messagepar Tryphon » Dimanche 21 Janvier 2007, 17:02

En tout cas, sur ce que je vois, effectivement, l'avant dernière formule et la dernière ne sont pas égales, il y a un $t$ qui a disparu deux fois...
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Messagepar rebouxo » Dimanche 21 Janvier 2007, 17:04

pouik a écrit:

$$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t} {2\sin{\dfrac{t}{2}}} - 0}{t-0}$$


c'est-à-dire :

$$\boxed{\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{t}{2\pi} - 1}{2t\sin{\dfrac{t}{2}}}}$$





C'est entre ces deux là. le $t$ du dénominateur est en trop. Il doit te rester :

$$\boxed{\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{t}{2\pi} - 1}{2\sin{\dfrac{t}{2}}}}$$



A partir de là, on doit pouvoir trouver la limite de cette fraction.
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 18:16

Faut-il utiliser un truc du genre :

$$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{t}{2}}{\sin{\dfrac{t}{2}}} = 1$$

???
Dernière édition par pouik le Dimanche 21 Janvier 2007, 18:18, édité 1 fois.
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Messagepar Tryphon » Dimanche 21 Janvier 2007, 18:17

Tu peux. Tu peux aussi utiliser un équivalent du dénominateur...
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 18:25

Mais ce que je ne comprends pas bien c'est pourquoi nous ont-ils fait montrer : $\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$ ??

N'y a-t-il pas moyen de l'utiliser ??
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Messagepar Tryphon » Dimanche 21 Janvier 2007, 18:52

La formule $\phi'(t) \simeq \dfrac{1}{2\pi}$ signifie que $\lim_{t\rightarrow 0}\phi'(t) = \dfrac{1}{2\pi}$.

Il y a en effet un theorème qui dit que si $f$ est $C^1$ sur $]a;b]$ et si $\phi'$ a une limite $\phi_0$ en $a$, alors $\phi'$ est $C^1$ sur $[a;b]$, mais a priori tu ne le connais pas.

Tu doit donc démontrer, par retour à la définition, que $\phi$ est dérivable en $0$, et trouver la valeur de $\phi'(0)$. Ensuite, tu pourras vérifier que $\phi'(0)$ est bien la limite de $\phi'(t)$ quand $t$ tend vers $0$, autrement dit que ta dérivée est continue en $0$, et donc que $f$ est $C^1$.
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Messagepar kojak » Dimanche 21 Janvier 2007, 18:59

pouik a écrit:On a par définition de la dérivée :

$$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\dfrac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\dfrac{t}{2}}} - \dfrac{\dfrac{0^2}{2\pi} - 0}{2\sin{\dfrac{0}{2}}}}{t-0}$$


Ca c'est faux...
Par définition $\phi(0)=-1$ donc il faut corriger le numérateur et refaire avec les $o$ au numérateur comme tu as fait pour $\phi'$ pour l'équivalent en $0$..
PS : désolé Pouik, mais fallait que je parte... :roll:
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 19:10

Tryphon a écrit:La formule $\phi'(t) \simeq \dfrac{1}{2\pi}$ signifie que $\lim_{t\rightarrow 0}\phi'(t) = \dfrac{1}{2\pi}$.

Il y a en effet un theorème qui dit que si $f$ est $C^1$ sur $]a;b]$ et si $\phi'$ a une limite $\phi_0$ en $a$, alors $\phi'$ est $C^1$ sur $[a;b]$, mais a priori tu ne le connais pas.


Mais si je le connais ce théorème : c'est le Théorème Lipmite de la dérivée et il faut même que je l'utilise sinon je me fais :rifle: :rifle: : eh oui mon prof a bien dit quand il nous a donné ce DM que ce serait la dernière fois qu'on utiliserait ce Théorème et qu'on ne le reverait pas en SPE, car on a pas que ca à faire :happy: :happy: ).

PS : Même si vous regarder un de mes premiers postes je faisais allusion à lui !!

Donc en fait il nous suffit juste de montrer que la dérivée admet une valeur finie en $0$, ce qui est le cas à cause de :

$$\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$$


qui est en particulier vraie en $0$, donc :

$$\phi'(0) = \dfrac{1}{2\pi}$$



donc il ne nous reste plus qu'à établir que $\phi$ est continue en $0$ et l'affaire est dans le sac par le THéorème...
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 19:11

Tryphon a écrit:La formule $\phi'(t) \simeq \dfrac{1}{2\pi}$ signifie que $\lim_{t\rightarrow 0}\phi'(t) = \dfrac{1}{2\pi}$.

Il y a en effet un theorème qui dit que si $f$ est $C^1$ sur $]a;b]$ et si $\phi'$ a une limite $\phi_0$ en $a$, alors $\phi'$ est $C^1$ sur $[a;b]$, mais a priori tu ne le connais pas.


Mais si je le connais ce théorème : c'est le Théorème Limite de la dérivée et il faut même que je l'utilise sinon je me fais :rifle: :rifle: : eh oui mon prof a bien dit quand il nous a donné ce DM que ce serait la dernière fois qu'on utiliserait ce Théorème et qu'on ne le reverait pas en SPE, car on a pas que ca à faire :happy: :happy: ).

PS : Même si vous regarder un de mes premiers postes je faisais allusion à lui !!

Donc en fait il nous suffit juste de montrer que la dérivée admet une valeur finie en $0$, ce qui est le cas à cause de :

$$\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$$


qui est en particulier vraie en $0$, donc :

$$\phi'(0) = \dfrac{1}{2\pi}$$



donc il ne nous reste plus qu'à établir que $\phi$ est continue en $0$ et l'affaire est dans le sac par le THéorème...
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Messagepar Tryphon » Dimanche 21 Janvier 2007, 19:23

Tu as raison, j'ai oublié dans les hypothèses que $\phi$ doit être $C^0$ sur $[a;b]$ et $C^1$ sur $]a;b]$.
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Messagepar pouik » Dimanche 21 Janvier 2007, 19:52

Okay, Sinon ma remarque est-elle correcte (je suis plus sur de moi, peut-on passer d'un equivalent à une égalité comme ceci?)
pouik a écrit:qui est en particulier vraie en $0$, donc :

$$\phi'(0) = \dfrac{1}{2\pi}$$


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Messagepar kojak » Dimanche 21 Janvier 2007, 20:05

(Re) bonsoir Pouik

A priori, avec ton théorème oui, c'est correct....
sinon, sans problème tu passes de ton équivalent à ton égalité car ton équivalent est une constante...

Comme tu dis il te manque la continuité en $0$. Pour info, moi, je la ferais avant de regarder la dérivabilité en $0$.
Pour la continuité, peux tu écrire un équivalent de $\dfrac{t^2}{2\pi}-t$ en $0$.
Idem au dénominateur. Et c'est règlé...
[EDIT kojak : je ne connaissais pas ce théorème que tu appelles Théorème Limite de la Dérivée, et c'est vrai que c'est un théorème dont je ne me rappelais plus : en effet, au lycée, en Term S, il n'est pas au programme et donc nous sommes obligés de revenir à la définition du nombre dérivé en $0$ afin de montrer que $\phi'(0)=\lim\limits_{t \to 0}\phi'(t)$ mais en supérieur si, donc pas besoin et alors tu peux conclure directement, donc mea culpa :oops: ]
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