[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

par **Tryphon** » Samedi 20 Janvier 2007, 18:36

Beurk, c'est horrible, il faut absolûment que tu revoies tes règles sur les équivalents.

Déjà, $\cos x \simeq 1 - x^2 / 2$ est un non-sens. Pourquoi ?

oui mais j'ai ajouté des équivalents de même ordre : en clair des termes de même degré..

Le plus simple est de développer ton numérateur et de prendre un équivalent de tes 4 termes.
Ensuite, tu additionneras "directement", c'est-à-dire sans détail, pour donner un équivalent de ton numérateur...

PS Je doute que tu aies vu en classe ta fameuse formule $\cos x \sim 1-\dfrac{x^2}{2}$ mais plutot celle que je t'ai indiquée...

PS : les équivalents, c'est bien, mais faut s'en méfier comme de la Peste :evil:

par **pouik** » Samedi 20 Janvier 2007, 20:02

Okay, donc en développant, on a :

$\phi'(t) = \dfrac{\dfrac{2t}{\pi}\sin{\dfrac{t}{2}} - 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \dfrac{t^2}{2\pi}\cos{\dfrac{t}{2}} + t\cos{\dfrac{t}{2}}}{4\sin^2{\dfrac{t}{2}}}$

donc :

$\dfrac{2t}{\pi}\sin{\dfrac{t}{2}} \sim \dfrac{t^2}{\pi}$

(mais là je suis pas en train d'utiliser le produit ??? :down:

)

et :

$-2\sin{\dfrac{t}{2}} \sim -t$

Correct jusque là ??

par **kojak** » Samedi 20 Janvier 2007, 20:27

correct et tu continues comme ceci pour le numérateur.
Pour le produit pas de problème...
Je te laisse
A demain

Kojak

par **pouik** » Samedi 20 Janvier 2007, 21:20

De même :

$- \dfrac{t^2}{2\pi}\cos{\dfrac{t}{2}} \sim - \dfrac{t^2}{2\pi} + - \dfrac{t^4}{8\pi}$

et :

$t\cos{\dfrac{t}{2}}} \sim t - \dfrac{t^3}{2}$

enfin :

$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} \sim \dfrac{t^2}{4}$

Est-ce coorect ??

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 08:21

pouik a écrit:De même :
$- \dfrac{t^2}{2\pi}\cos{\dfrac{t}{2}} \sim - \dfrac{t^2}{2\pi} + - \dfrac{t^4}{8\pi}$

Faux mais

$- \dfrac{t^2}{2\pi}\cos{\dfrac{t}{2}} \sim - \dfrac{t^2}{2\pi}$

pouik a écrit:
$t\cos{\dfrac{t}{2}}} \sim t - \dfrac{t^3}{2}$

Faux mais

$t\cos{\dfrac{t}{2}}} \sim t$

pouik a écrit:

$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} \sim \dfrac{t^2}{4}$

Faux mais

$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} \sim t^2$

Le problème après tu vas faire la somme et ça tu n'as pas le droit car les équivalents ne sont pas de même ordre, donc cette méthode ne convient pas... mais je ne vois pas comment faire si tu ne connais pas les développements limités :roll:

par **pouik** » Dimanche 21 Janvier 2007, 08:34

ne peut-on pas utiliser les $o$

cvar avec eux on peut faire le produit (non ??)

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 09:11

Si tu connais les $o$

, tu connais les développements limités et là tu peux faire la somme sans problème, alors à toi de jouer

par **pouik** » Dimanche 21 Janvier 2007, 09:24

non non je vous assure que je ne connais pas les développements limités !! :peace:

Au voisinage de 0 pour t, on a les égalités suivantes :
$\#$

$\sin{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t}{2} + o(\dfrac{t}{2})$

donc par produit :

$2\sin{\dfrac{t}{2}} = t + o(t)$

donc par produit :

$\left(\dfrac{t}{\pi} - \right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} = \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)t + o(\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)t)$

c'est-à-dire :

$\left(\dfrac{t}{\pi} - \right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} = \left(\dfrac{t^2}{\pi} - t\right) + o(\left(\dfrac{t^2}{\pi} - t\right))$

Est-ce correct jusque là car j'ai fais ça il y a tellement longtemps !! :renske:

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 10:51

pouik a écrit:Au voisinage de 0 pour t, on a les égalités suivantes :
$\#$
$\sin{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t}{2} + o(\dfrac{t}{2})$

il faut aller à l'ordre 2 ici c'est-à-dire :

$\sin{\dfrac{t}{2}} = \dfrac{t}{2} + o(t^2)$

pouik a écrit:donc par produit :
$2\sin{\dfrac{t}{2}} = t + o(t)$

donc $2\sin{\dfrac{t}{2}} = t + o(t^2)$

pouik a écrit:donc par produit :
$\left(\dfrac{t}{\pi} - \right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} = \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)t + o(\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)t)$

Il te manque le $1$

et c'est faux dans le $o$

..
Il faut écrire :

$\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} = -t+\dfrac{t^2}{\pi} + o(t^2)$

Et donc à poursuivre...

par **pouik** » Dimanche 21 Janvier 2007, 12:09

$\#\#$

$\cos{\dfrac{t}{2}} = 1 - \dfrac{\dfrac{t^2}{4}}{2} + o(\dfrac{t^2}{4})$

donc par produit :

$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} = \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \left(1 - \dfrac{t^2}{8} + o(\dfrac{t^4}{8\pi} - \dfrac{t^3}{4})\right)$

\#\#\# Enfin, on a par ce qui précède :

$\left(2\sin{\dfrac{t}{2}}\right)^2 = t^2 + o(t^4^)$

c'est-à-dire :

$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} = t^2 + o(t^4^)$

Est-ce correct !! Désolé si j'ai écris des énormités mais j'ai beaucoup de mal avec cette notion... :blushing:

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 13:13

pouik a écrit: $\#\#$
$\cos{\dfrac{t}{2}} = 1 - \dfrac{\dfrac{t^2}{4}}{2} + o(\dfrac{t^2}{4})$

tu marques un $o(t^2)$

au lieu de $o(\dfrac{t^2}{4})$

pouik a écrit:donc par produit :
$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} = \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \left(1 - \dfrac{t^2}{8} + o(\dfrac{t^4}{8\pi} - \dfrac{t^3}{4})\right)$

même remarque donc tu as :

$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} =\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \left(1 - \dfrac{t^2}{8} + o(t^2)\right)$

Tu développes et tu réduis pour obtenir

$\left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}} =-t+\dfrac{t^2}{2\pi}+o(t^2)$

car tu ne gardes que les termes de degré inférieur ou égal à 2...

pouik a écrit:\#\#\# Enfin, on a par ce qui précède :
$\left(2\sin{\dfrac{t}{2}}\right)^2 = t^2 + o(t^4^)$

Tu obtiens :
$\left(2\sin{\dfrac{t}{2}}\right)^2 = t^2 + o(t^2)$

pouik a écrit:c'est-à-dire :
$4\sin^2{\dfrac{t}{2}} = t^2 + o(t^4)$

donc $4\sin^2{\dfrac{t}{2}} = t^2 + o(t^2)$

pouik a écrit: Désolé si j'ai écris des énormités mais j'ai beaucoup de mal avec cette notion...

Ca, tu ne peux pas le cacher...

Au lieu des $o$

, tu ne connais pas cette notation par hasard :
$\sin t = t +t^2\varepsilon(t)$ avec $\lim\limits_{t \to 0}\varepsilon(t)=0$
Car le $o(t^2)=t^2\varepsilon(t)$
Personnellement, je préfère utiliser mes $\varepsilon(t)$ car c'est plus parlant que la notation de Landau $o(t)$

...
Ensuite, il ne te reste plus qu'à additionner au numérateur, il ne te reste qu'un terme en $t^2$

sans oublier le $+o(t^2)$

et donc tu as ensuite ton équivalent du numérateur qui est justement ton terme en $t^2$

.
Pour le dénominateur, même si tu l'as fait, il est inutile car tu as directement ici :
dénominateur $\sim t^2$
Enfin, tu feras ton quotient d'équivalent, tu as le droit, et tu trouveras proprement ce que tu cherches

Ensuite, il te reste à déterminer ton nombre dérivé de $\phi$ en $0$

en revenant à la définition du nombre dérivé d'une fonction en $0$

afin de montrer que $\phi'(0)=\lim\limits_{t\to 0}\phi'(t)$ ....
Ce qui t'assurera la continuité de la dérivée en $0$

.
Il ne faut toujours pas oublier de montrer que $\phi$ est continue en $0$

, ce que tu n'as toujours pas fait, me semble-t-il...

par **pouik** » Dimanche 21 Janvier 2007, 13:42

$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}}}{{4\sin^2{\dfrac{t}{2}}}} - \dfrac{\left(\dfrac{0}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{0}{2}} - \left(\dfrac{0^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{0}{2}}}{4\sin^2{\dfrac{0}{2}}}}{t-0}$

c'est-à-dire :

$\phi'(0) = \displaystyle\lim_{t \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right) 2\sin{\dfrac{t}{2}} - \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) \cos{\dfrac{t}{2}}}{{4\sin^2{\dfrac{t}{2}}}} - 0}{t}$

Mouep et arrivé là je ne vois pas vraiment comment levé la forme indéterminée.... :angel_not:

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 13:48

Edite ton post car tu as des formules incorrectes que je n'arrive pas à corriger car je ne comprends pas ce que tu veux faire...

D'abord, il faut que tu répondes à la question : montrer que $\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$ avec la méthode précisée précédemment, donc pour l'instant pas de limite seulement les $o$

..

PS : pour les "grosses formules" tapes les avec texciccenter afin de voir s'il n'y a pas d'anerie et il te dit où sont les erreurs : touche F9

[Edit Kojak : de toute façon, ta première formule est fausse...
$\phi'(0)=\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\phi(t)-\phi(0)}{t}$ si cette limite existe...]

par **kojak** » Dimanche 21 Janvier 2007, 13:55

J'ai édité et complété mon précédent post...
pour info ce que tu as écrit ce n'est pas $\phi'(0)$ mais tu cherches presque $\phi''(0)$ , si j'ai compris ce que tu as écrit...

Relis mon post de 13h13 : je te décris la démarche à suivre...

[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

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