[Term S] Trigonométrie

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[Term S] Trigonométrie

Messagepar Sorensen » Vendredi 21 Octobre 2005, 21:43

Etudier suivant les valeurs de $n$, le sens de variation de $f_n(x)=x+nsinx$ sur $[0,\pi]$.

Je n'ai aucune idée. En calculant la dérivée, j'arrive à $f_n'(x)= 1/n$ (si $f_n'(x) = 0$) mais je ne sais ni conclure ni rédiger.

Dans le même exercice j'avais que les points $Ak(kpi,kpi)$ k dans $\Z$, sont centres de symétrie de $(C_n)$ et expliquer comment on construit $(C_n)$ lorsqu'on connait la partie $(T_0)$ pour $x$ dans $[0,\pi]$.
Je n'arrive ni à faire le changement de repère et je ne comprends pas la fin de la question.

Merci à vous.

[Edit: MB] Améliration de l'utilisation du code LaTeX. Par contre, je ne comprend pas trop ce qui est dit dans ce post ...
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Messagepar Nightmare » Vendredi 21 Octobre 2005, 21:52

Bonjour

Je ne comprend pas comment tu trouves ta dérivée

Pour moi : $f'_{n}(x)=1+ncos(x)$

:?
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Messagepar Invité » Vendredi 21 Octobre 2005, 22:00

en fait je me suis mal exprimé, j'ai cherché la dérivée, PUIS là où elle s'annulait (et je trouve donc $fn'(x)= 1/n$ mais je ne sais pas continuer (la suite ne s'annule pas, enfin bon je ne comprends rien)
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Messagepar Nightmare » Vendredi 21 Octobre 2005, 22:19

Je pense que tu te fatigues pour rien

Sur [0;pi] , cos est positif, donc il en est de même pour ncos(x) donc pour 1+ncos(x)

Conclusion f est ... sur R

:)
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Messagepar Invité » Vendredi 21 Octobre 2005, 22:31

oui mais on medit que je suis amené à discuter suivant la position de n par rapport à 1 et -1
pourquoi?
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Messagepar Ash'Ka » Vendredi 21 Octobre 2005, 23:38

Tu t'es trompé nightmare, $\cos(\pi) = -1$ donc il faut bien discuter ...
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Messagepar Ash'Ka » Vendredi 21 Octobre 2005, 23:52

$\begin{equation*} \begin{aligned} 1 + ncos(x) < 0 & \Longrightarrow ncos(x) < -1\\ & \Longrightarrow cos(x) < -1/n \end{aligned} \end{equation*}$
Si $n = 1$ alors $f'_n(x) > 0$ sur $[0,\pi]$
Sinon, bah il existe $\alpha_n \in [\pi/2,\pi]$ tel que $cos(\alpha_n) = -1/n$
Et $f'_n(x) \ge 0$ sur $[0,\alpha_n]$ et $f'_n(x) < 0$ sur $[\alpha_n,\pi]$
Quant à savoir que vaut $\alpha_n$... Je n'en ai aucune idée.
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Messagepar greyeu » Samedi 22 Octobre 2005, 00:25

Un truc du genre $\displaystyle{Arccos(-\frac{1}{n})}$ ?? Mais en TS c'est hors programme je pense... (D'ailleur, Arcos ou Arccos ?)
Bonne nuit !!
Un jongleur sans balles silicones, c'est un peu comme un surfeur sans short oxbow...
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Messagepar Invité » Samedi 22 Octobre 2005, 05:47

Arccos ;)
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Messagepar Invité » Samedi 22 Octobre 2005, 07:38

mais donc qu'est ce que je peux répondre sur la fonction sur [0,pi] ?
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Messagepar Ash'Ka » Samedi 22 Octobre 2005, 10:00

Que c'est croissant sur $[0,\alpha_n]$ et décroissant sur $[\alpha_n,\pi]$
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Messagepar Invité » Samedi 22 Octobre 2005, 14:23

et le (an) je le laisse tel quel? mais dans ce cas là il suffit d'étudier par rapport à 1. Et -1 alors?
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Messagepar Invité » Samedi 22 Octobre 2005, 17:26

mais là, au fait on fait des hypothèses sur les x, pas sur les n ...
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Messagepar MB » Samedi 22 Octobre 2005, 19:17

Il faut penser à se connecter (pour pouvoir éditer ses messages par exemple) et à s'exprimer le plus clairement possible. Là, j'ai du mal à comprendre ce sujet. C'est quoi $C_n$ ? et $T_0$ ?

et le (an) je le laisse tel quel?


C'est quoi $a_n$ !?
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Messagepar Ash'Ka » Dimanche 23 Octobre 2005, 00:38

Pour MB, $(\alpha_n)_n$ est la suite définie par $\forall n \in \N^*,\cos(\alpha_n) = -1/n$. (c'est moi qui l'ai définie un peu avant dans l'énoncé)

Et pour Sorensen,
La discussion de la variation d'une fonction se fait par rapport à une partie de $\R$ : On ne dit pas que $f(x)$ est croissante mais $f$ est croissante sur $X \subset \R$.

Enfin, dans ce cas, il est clair qu'on a aucune méthode de calculer $(\alpha_n)_n$ à part en introduisant $\arccos$, ce qui n'est pas au programme de terminal. Par contre, l'existance de la suite est justifié par le Théorème des valeurs intermédiaire, qui est au programme de Terminale.

Et enfin, la discussion se fait sur $n$ : si on connait $(\alpha_n)_n$, l'étude est fini. Mais bon, comme le dit MB, l'énoncé est ici mal posé... Si tu pouvais nous le recopier dans son intégralité, on serait en mesure de mieux t'aider.
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 23 Octobre 2005, 08:52

Ash'Ka a écrit: si on connait $(\alpha_n)_n$, l'étude est fini. ..


Voilà une bonne question mathématique: que signifie connaître le réel $\alpha_n$?

Si c'est être capable de donner la valeur numérique de chacune de ses décimales alors effectivement on ne connaît pas ce nombre en général.

Pour le matheux c'est plutôt être capable de donner une caractérisation de ce nombre, ici: $\alpha_n$ est l'unique réel de l'intervalle $[0;\pi]$ qui vérifie la relation $\cos(\alpha_n)=-\frac1n$. A partir de là ce nombre est considéré comme connu.

Quant à l'aspect numérique, pour $n$ donné, cette même relation permet de calculer des valeurs approchées aussi bonnes que l'on veut de $\alpha_n$ par dichotomie par exemple.
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Messagepar Invité » Dimanche 23 Octobre 2005, 13:01

l'énoncé est le suivant:

Etudier, suivant les valeurs de m (m réel non nul) le sens de variation de la fonction $f_m= x + m sinx$sur l'intervalle [0, pi] (on sera amené à discuter suivant la position de m par rapport à 1 et -1).

Je n'arrive pas en particulier à le faire pour m supérieur à 1 ou inférieur à -1. (ni à faire, ni à rédiger)
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Messagepar Ash'Ka » Dimanche 23 Octobre 2005, 14:39

$m$ est un réel!!! Faut pas écrire $n$ parcequ'en général $n$ est réservé aux entiers.

Enfin, ca change rien à l'exercice :
Si $m \in ]-1,1[$ alors $|-1/m| > 1$ et donc il n'existe pas de réel tel que $\cos(x) = -1/m$ donc $f_m$ est croissante sur $[0,pi]$, sinon bah c pareil, il existe un réel $\alpha_m$ tel que $\cos(\alpha_m) = -1/m$...
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Messagepar Invité » Dimanche 23 Octobre 2005, 18:38

a vrai dire je ne comprends rien à ton $cos (am)$
pourtant je suis sur cet exercice depuis 2 jours
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Messagepar Ash'Ka » Dimanche 23 Octobre 2005, 19:23

Je vais faire un effort, je vais partir du début.

Le but est d'étudier les variations d'une famille de fonction définie par :
$f_m : x \longmapsto x + m\sin(x), m \in \R$ sur $[0,\pi]$
On calcule la dérivée :
$f'_m : x \longmapsto 1 + m\cos(x)$

Et enfin, on étudie le signe de la dérivée, parceque le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction.

On cherche donc à savoir quand la fonction est négative (car quand elle n'est pas négative, elle est positive...)
On est donc amené à résoudre l'inéquation $1 + m\cos(x) \le 0$
soit $m\cos(x) < -1$ (1)

Là commence la discussion sur la valeur de m :
- Si $m = 0$ alors (1) devient $0 < -1$ qui est impossible donc $f'_m$ est positive sur $[0,\pi]$.

- Si $0 < m < 1$ alors, $(1) \Longleftrightarrow \cos(x) < -1/m \Longrighlefttarrow \cos(x) < -1$ ce qui est impossible donc $f'_m$ est positive sur $[0,\pi]$

- Si $-1 < m < 0$, alors $(1) \Longleftrightarrow \cos(x) < -1/m < 1$, ce qui est toujours vrai, donc $f'_m$ est négative sur $[0,\pi]$

- Si $|m| \ge 1$, alors $(1) \Longlefrighttarrow \cos(x) < -1/m$.
Or, puisque :
* $\cos$ est continue et décroissante sur $[0,\pi]$
* $\cos(0) = 1$ et $\cos(\pi) = -1$
* $-1 < -1/m < 1$
D'après le théorème des valeurs intermédiaire, il existe un unique $\alpha_m \in [0,\pi]$ tel que $\cos(\alpha_m) = -1/m$.
Et $\forall x > \alpha_m, cos(x) < cos(\alpha_m) = -1/m$. Donc $f'_m$ est positive sur $[0,\alpha_m]$ et négative sur $[\alpha_m,\pi]$.

Si tu as pas compris cette fois, je peux plus rien pour toi
Dernière édition par Ash'Ka le Dimanche 23 Octobre 2005, 20:54, édité 1 fois.
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