Topologie

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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Topologie

Messagepar woodoo » Samedi 12 Octobre 2013, 09:55

Bonjour,

j'ai un problème de rédaction pour une preuve dans un exercice de topologie. Voici l'énoncé:

Montrer que chacune des propositions suivantes implique l'axiome 4 du cours.
1. Une suite de Cauchy de $\R$ est convergente
2. Toute partie A non vide et bornée supérieurement de $\R$ admet un unique supremum.


L'axiome 4 que nous avons pris en cours est:
Une suite $(I_{n})_{n=0}^{\infty}$ d'intervalles fermés emboîtés dont la longueur tend vers 0 est d'intersection égale à un point exactement.

1. Soit $(I_{n})_{n=0}^{\infty}$ une suite d'intervalles emboîtés et soient $a_{n}, b_{n}$ les bornes inférieures et supérieures de l'intervalle $I_{n}$. On a

$$|a_{1} - b_{1}| \geq |a_{2} - b_{2}| \geq ... \geq |a_{n} - b_{n}|$$


Par hypothèse, la longueur des intervalles tend vers 0. Fixons $\epsilon > 0$. Il existe alors $n_{0} \in \N$ tel que $|a_{n} - b_{n}| < \epsilon\ \forall n \geq n_{0}$.
Comme les intervalles sont emboités, à partir du rang $n_{0}$, toutes les longueurs des intervalles suivant seront plus petites que $\epsilon$. On a alors que $\forall m \geq n_{0}$, $|a_{n} - a_{m}| < \epsilon$.
On a donc trouvé une suite de Cauchy, et on sait que cette suite converge dans $\R$. Appelons $a$ la limite de cette suite. On a que pour tout $n \geq n_{0}$, $|a_{n} - a| < \epsilon$.
On sait de plus que toute suite convergeant dans un fermé a sa limite dans ce fermé. Comme $I_{n}$ est un fermé et que la suite $(a_{n})$ y converge, $a$ est dans $I_{n}$.
Comme on a pris un $n \geq n_{0}$ arbitraire, c'est valable pour tout $n \geq n_{0}$. Donc $a$ est le point d'intersection de la suite d'intervalles $(I_{n})_{n=0}^{\infty}$.

2. Soit $(I_{n})_{n=0}^{\infty}$ une suite d'intervalles emboîtés.
Tous les $I_{n}$ sont fermés, bornés et non vides. On a $I_{0}=[a_{0}, b_{0}] \supset I_{1} = [a_{1}, b_{1}] \supset ... \supset I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$.
Soit $A$ l'ensembles des $a_{n}$, $A = \{ a_{n} | n \in \N \}$.
$A$ est borné supérieurement, par $b_{0}$ par exemple. Comme toute partie non vide et bornée supérieurement de $\R$ admet un unique supremum, $A$ admet un supremum.
On doit alors trouver $s$ tel que
(i) $\forall y \in A, s \geq y$
(ii) si $z$ est tel que $\forall y \in A, z \geq y$, alors $s \leq z$.
Posons $s = b_{n}$, alors les deux conditions ci-dessus sont bien vérifiés. De plus comme le supremum est unique et que par hypothèse la longueur des intervalles tend vers 0, on a que $s = \displaystyle \bigcap_{i = 0}^{\infty}I_{n}$.

Je ne sais pas si ces preuves sont justes ou pas donc je remercie toute âme qui les lira et pourra me suggérer des améliorations dans la rédaction.

Merci d'avance et bon week end.
woodoo
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Re: Topologie

Messagepar balf » Samedi 12 Octobre 2013, 12:51

Pour 1), votre chaîne d'inégalités pour les longueurs devrait commencer à n = 0.
Pour montrer qu'on a une suite de Cauchy, c'est bien clair. Concernant la fin, il y a une petite confusion entre les rôles de n et de n₀ : la suite (aₙ) n'est pas une suite de Iₙ, mais seulement de I₀. Il faut considérer le suite (aₚ)ₚ$_{\geqslant}$ₙ, qui converge évidemment aussi vers a, pour montrer que a appartient à Iₙ.

Concernant 2), ça me paraît plus fumeux. Déjà, si vous écriviez directement qu'on doit trouver s tel que s $\geqslant$ aₙ quel que soit n (et de même pour (ii)) les notations seraient plus parlantes.
Mais ce n'est qu'un problème de notation. PLus embêtant, vous ne pouvez écrire que s = bₙ et dire que s est dans l'intersection de tous les Iₙ.

Remarque finale concernant l'énoncé lui-même : que le borne inférieure soit unique est redondant puisque R est totalement ordonné. D'autre part l'axiome 4 est en fait une conséquence de l'axiome (apparemment) plus faible que voici :
Une suite d'intervalles fermés emboîtés a une intersection non vide, et c'est cela qu'il suffit de prouver ( si l'intersection est non vide et si les longueurs tendent vers 0, il est clair qu'il n'y a qu'un seul point dans l'intersection).

B. A.
P.-S. Le termes de supremum et infimum sont des anglicismes.
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Re: Topologie

Messagepar woodoo » Samedi 12 Octobre 2013, 15:27

Bonsoir,

merci pour votre réponse, mais j'ai juste un soucis, c'est que je ne peux pas lire la plupart des indices que vous avez écrit.
J'essaye juste de retranscrire ce que vous avez voulu dire.

La suite $(a_{n})$ n'est pas une suite de $I_{n}$, mais seulement de $I_{0}$. Il faut considérer la suite $(a_{m})_{m \geq n}$ qui converge vers $a$, pour montrer que $a$ appartient à $I_{n}$.

on doit trouver $s$ tel que $s \geq a_{n}$ quel que soit $n$. Vous ne pouvez écrire que $s = b_{n}$ et dire que $s$ est dans l'intersection de tous les $I_{n}$.

J'espère que j'ai bien compris ce que vous vouliez dire.

En effet j'ai du mal à conclure pour 2). Est-ce que c'est bien de dire que comme la longueur des intervalles tend vers 0, on a $|a_{n} - s| < \epsilon$ pour $\epsilon$ fixé, et que par le point 1), $s$ est dans l'intersection des $I_{n}$?
Sinon pour le 1) j'ai compris ce que je devais changer.

Merci encore pour votre aide, et bonne soirée.
woodoo
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Re: Topologie

Messagepar balf » Samedi 12 Octobre 2013, 16:50

Ah ! Je n'avais pas pensé qu'il pût y avoir un problème avec mes indices. J'avoue qu'écrire du code LaTeX pour des formules assez simples m'ennuie. Je ne sais quel est votre système d'exploitation, mais il faudrait demander à votre navigateur d'utiliser une police comme DejaVu Sans ( ou aussi Segoe UI si vous êtes sous Windows >= Vista) pour avoir accès à un nombre raisonnable de symboles mathématiques.

Cela dit, vous avez bien déchiffré. Je pense que vous avez compris mon objection à 2). Il n'en reste pas moins que la suite (aₙ) converge vers un nombre a qui appartient à [a₀, b₀]. On vérifie que, par définition de la borne supérieure, a $\leqslant$ bₙ quel que soit n, et par conséquent l'intersection des Iₙ n'est pas vide. Après quoi il ne reste qu'à utiliser que la longueur des Iₙ tend vers 0.

B.A.
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Re: Topologie

Messagepar woodoo » Samedi 26 Octobre 2013, 17:48

Merci beaucoup pour votre réponse! C'est clair maintenant.

Je me permet de reposer une question ici pour ne pas ouvrir une nouvelle discussion.

Soit $X = l^{\infty}(\R)$ muni de la métrique induite par la norme $\|\cdot\|_{\infty}$. Soit $A$ la partie de $X$ formée des suites convergents. Est-ce que $A$ est fermée dans $X$?
$l^{\infty}(\R) = \{f \in \R^{\N}: \exists k > 0 \text{ avec } |f(n)| \leq k, \forall n \in \N\}$.
$\|\cdot\|_{\infty} = \underset{n\in\N}\sup |f(n)|$.

Je ne sais pas du tout comment partir pour montrer ceci. J'espère que vous pourrez m'éclairer :).

Merci d'avance et bonne soirée.
woodoo
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Re: Topologie

Messagepar balf » Dimanche 27 Octobre 2013, 01:04

Les suites convergentes forment plutôt un ouvert : il n'est pas difficile de voir qu'une suite suffisamment proche d'une suite convergente (donc de Cauchy) est elle-même de Cauchy (donc convergente si on est dans un espace de Banach — cette question a un sens aussi pour des suites à valeurs dans un Banach).

B.A.
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Re: Topologie

Messagepar Tonn83 » Dimanche 27 Octobre 2013, 17:32

Bonjour,

@ Woodoo : Oui, les suites convergentes forment un sous-espace vectoriel fermé de $l^{\infty}(\R)$.

@ Balf : Euh ... !?? ... Vous pouvez facilement trouver des suites non convergentes aussi proches que souhaité de la suite identiquement nulle. Par exemple, la suite $u_n=(u_{n})_{n\geq 0}$ définie par $u_{n}=(-1)^n\varepsilon$ pour tout $n\geq 0$, avec $\varepsilon>0$ aussi petit que souhaité. Permettez-moi de devoir vous rappeler que, dans un espace vectoriel E normé, le seul sous-espace vectoriel ouvert est E.
Mieux vaut ne pas poster une réponse à 1h du matin :lol:

@ Woodoo : Savez-vous que les suites bornées admettent des sous-suites convergentes ? On appelle valeur d'adhérence toute limite d'une sous-suite convergente. Savez-vous qu'une suite bornée $u$ ne converge pas si et seulement si elle admet deux valeurs d'adhérences différentes $\ell<\ell'$ ? Si $2\varepsilon<\ell'-\ell$, que pouvez-vous dire d'une suite $v\in \ell^{\infty}(\R)$ telle que $\|v-u\|_{\infty}<\varepsilon$ ? Que pouvez-vous en déduire du complémentaire de $A$ dans $\ell^{\infty}(\R)$ ? Conclusion ?

En espérant vous avoir aidé,
Cordialement,
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Re: Topologie

Messagepar woodoo » Dimanche 27 Octobre 2013, 22:11

Bonsoir,

En fait en classe on a pas encore vu la complétude des espaces métriques, et donc on a pas vu les espaces de Banach.

Sinon la seule chose que j'ai trouvée à dire de $v$ est qu'elle n'est pas convergente. On a $\|v-u\| < \frac{l' - l}{2}$.
Du coup le complémentaire de $A$ dans $l^{\infty}(\R)$ est formé des suites bornées mais pas convergentes.
Là je ne sais pas trop quoi dire de plus.

Sinon j'ai une ou deux propositions qui pourraient être utile. La première dit:
Soient $(X, d)$ est un espace métrique et $(x_{n})_{n\geq0}$ une suite de Cauchy.
La suite $(x_{n})_{n\geq0}$ est convergente ssi elle possède une sous-suite convergente. Autrement dit, une suite de Cauchy dans $X$ possédant une valeur d'adhérence est convergente. La valeur d'adhérence est alors unique, c'est la limite de la suite.

Une définition: On dit que $(X, d)$ est complet si toute suite de Cauchy dans $(X, d)$ est convergente.

La deuxième proposition: Soit $A$ un sous-ensemble d'un espace métrique $(X, d)$. Si $A$ est complet, alors $A$ est fermé dans $X$.

Du coup on peut en tirer que $A$ (la partie de $X$ formée des suites convergentes) est complète car relativement à la norme infinie, toutes les suites convergentes sont de Cauchy.
Et donc par la deuxième proposition, $A$ est fermé dans $X$.

Bon je ne suis pas sûr du point que toutes les suites convergentes sont de Cauchy pour la norme infinie, mais je pense que oui.

(je sais que j'ai dit que je n'ai pas vu la complétude des espaces métriques en classe, mais ces propositions sont tirées du livre "Topologie générale et espaces normés" de Nawfal El Haga Hassan.)
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Re: Topologie

Messagepar balf » Dimanche 27 Octobre 2013, 23:31

@ Tonn 83 :oops: Je crois bien que je n'étais plus en état et que je me suis emmêlé les pinceaux dans les quantificateurs.Ça m'apprendra à vérifier en détail ce que j'avance…

B.A.
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Re: Topologie

Messagepar Tonn83 » Dimanche 27 Octobre 2013, 23:55

woodoo a écrit:Du coup on peut en tirer que $A$ (la partie de $X$ formée des suites convergentes) est complète car relativement à la norme infinie, toutes les suites convergentes sont de Cauchy.
Et donc par la deuxième proposition, $A$ est fermé dans $X$.

Malheureusement, c'est la réciproque qui est utile : Dans un espace métrique $(X,d)$, si $A$ est une partie fermée, alors $A$ est complet pour la distance induite.
En particulier, ici, vous devrez en premier démontrer que le sous-espace des suites convergentes est fermé dans $l^{\infty}(\R)$ pour en déduire éventuellement la complétude de $A$.

Bon je ne suis pas sûr du point que toutes les suites convergentes sont de Cauchy pour la norme infinie, mais je pense que oui.

Dans un espace vectoriel normé, toute suite convergente est de Cauchy. Je pense toutefois que vous commettez une confusion classique dans ce genre de problème !
Les vecteurs de $\ell^{\infty}(\R)$ sont des suites de nombres réels. Dans le livre que vous consultez, il est certainement démontré que $\ell^{\infty}(\R)$ pour la norme usuelle est complet. Autrement dit, il est démontré que toute suite de Cauchy $u=(u_n)_{n\geq 0}$ de $l^{\infty}(\R)$ converge... Il faut bien comprendre que pour chaque indice $n$ on dispose d'une suite bornée $u_n=(u_{n,q})_{q\geq 0}$ de nombres réels. La démonstration est en trois étapes :
  • Sachant que $u=(u_n)_{n\geq 0}$ est une suite de Cauchy de $\ell^{\infty}$, on démontre que pour tout $q\in\N$, la suite $(u_{n,q})_{n\geq 0}$ satisfait le critère de Cauchy et donc converge vers une limite notée $v_q$ (car $\R$ est complet).
  • Deuxième étape, la plus importante : La suite $v=(v_q)_{q\geq 0}$ formée des limites ainsi obtenues est une suite bornée de nombres réels : $v$ appartient à l'espace $\ell^{\infty}$.
  • Enfin, on démontre que $(u_n)_{n\geq 0}$ converge vers $v\in\ell^{\infty}$
Avant de s'intéresser au sous-espace $A$, comprenez vous les étapes de cette démonstration ?

@ balf : ça arrive ... :)
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Re: Topologie

Messagepar woodoo » Mardi 29 Octobre 2013, 21:06

Bonsoir,

pour finir, j'ai fait une démonstration similaire à celle que vous avez proposé.

J'ai pris une suite $((x_{n})_{k})$ dans $A$, et j'ai dit qu'elle convergeait vers $x_{n} \subset X= l^{\infty}$.
Ensuite le but était de démontrer que $x_{n}$ était dans $A$.
Pour cela, j'ai montré que que $((x_{n})_{k})$ est une suite convergente, qui tend vers une certaine limite $l$.
Ensuite j'ai montré que $(x_{n})$ convergeait vers $l$ et par conséquent que $(x_{n})$ est dans $A$.

J'espère que ça suffit comme preuve.

Merci pour votre aide, et bonne soirée.
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Re: Topologie

Messagepar Tonn83 » Mercredi 30 Octobre 2013, 13:29

woodoo a écrit:pour finir, j'ai fait une démonstration similaire à celle que vous avez proposé.

Quelle démonstration ? Celle selon laquelle $\ell^{\infty}$ muni de la norme définie plus haut est un espace complet ? Ou celle selon laquelle la partie $A$ définie plus haut est une partie fermée ?

J'ai pris une suite $((x_{n})_{k})$ dans $A$, et j'ai dit qu'elle convergeait vers $x_{n} \subset X= l^{\infty}$.

Aïe ! $x_n$ n'est pas une partie de $\ell^{\infty}$ ! En outre, une suite d'éléments de $A$ s'écrit $((x_{n,k})_{k\geq 0})_{n\geq 0}$. Pourquoi convergerait-elle ? Est-ce l'hypothèse ? Ou est-ce la conclusion d'une hypothèse que vous avez oublié de formuler ?

Ensuite le but était de démontrer que $x_{n}$ était dans $A$. Pour cela, j'ai montré que que $((x_{n})_{k})$ est une suite convergente, qui tend vers une certaine limite $l$.

$x_{n,k}$ est un nombre réel : c'est le $k$-ième terme de la suite $(x_{n,k})_{k\geq 0}=x_n$. Pour tout entier naturel $n$, cette suite $x_n=(x_{n,k})_{k\geq 0}$ appartient à $A$ : on le sait déjà ! (on s'est donné une suite d'éléments de $A$, non ?) En particulier, pour tout entier naturel $n$, la suite $x_n=(x_{n,k})_{k\geq 0}$ converge effectivement mais sa limite $\ell_n$ est bel et bien un nombre réel mais elle dépend de l'entier $n$ (ici fixé !). Comprenez-vous ce que tout cela signifie ? Comprenez vous bien les notations ? :wink:

Ensuite j'ai montré que $(x_{n})$ convergeait vers $l$ et par conséquent que $(x_{n})$ est dans $A$. J'espère que ça suffit comme preuve.

Pour conclure, il faut démontrer que la suite $(\ell_n)_{n\geq 0}$ converge : donc cette suite $(\ell_n)_{n\geq 0}$ appartient à $A$ (ensemble des suites convergentes).
Il faut que vous repreniez les démonstrations depuis le début ! Courage ! :D
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