Topologie

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Topologie

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 30 Décembre 2010, 00:44

Salut.

J'aimerais démontrer que l'ensemble des polynômes de degré $n$ scindés dans $\R$ à racines simples est un ouvert de $\R_n[X]$. Je sais que l'ensemble des polynômes à racines simples est l'image réciproque de $\R^*$ par l'application $P\mapsto \text{res}(P,P')$, où $\text{res}$ est l'application résultant. Par contre, j'ai du mal avec le caractère "scindé sur $\R$". D'ailleurs, l'ensemble des polynômes scindés sur $\R$ n'est pas un ouvert, puisqu'à coté de $X^2$, il y a des polynômes de la forme $X^2+\epsilon^2$, qui ne sont clairement pas scindés.

J'aimerais si possible éviter d'utiliser le théorème d'inversion locale, voulant le réserver pour la suite de l'exercice.

Avez-vous des idées ?

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Re: Topologie

Messagepar PRND » Jeudi 30 Décembre 2010, 00:58

Une astuce : les polynômes scindés à racines simples et de degré $n$ sont les polynômes de $\R_n[X]$ qui changent $n$ fois de signe sur $\R$.
En perturbant un peu un polynôme, on ne change pas son nombre de changements de signe
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Re: Topologie

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 30 Décembre 2010, 01:11

PRND a écrit:Une astuce : les polynôme scindés à racines simples et de degré $n$ sont les polynômes de $\R_n[X]$ qui changent $n$ fois de signe sur $\R$.
En perturbant un peu un polynôme, on ne change pas son nombre de changements de signe


Habile, mais ça va demander du boulot. Genre : si $P$ est scindé à racines simples, il existe $n+1$ réels $a_0<a_1<\dots<a_n$ tels que $P(a_i)P(a_{i+1})<0$ pour tout $i$. Si $Q$ appartient à une certaine boule ouverte centrée en $P$ (pour une des normes équivalentes à préciser, la norme infinie pourrait accomplir des miracles ici), alors $Q(a_i)Q(a_[i+1})$ est encore strictement négatif pour tout $i$, donc l'ensemble considéré est voisinage de chacun de ses points.

Oui, ça semble épatant. Merci :-)

Et puis surtout :

Arthur Accroc a écrit:Topologie

Message de Arthur Accroc » Jeudi 30 Déc 2010, 00:44


PRND a écrit:Re: Topologie

Message de PRND » Jeudi 30 Déc 2010, 00:58


Quelle rapidité !

Encore merci.
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Re: Topologie

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 30 Décembre 2010, 01:35

Arthur Accroc a écrit:Si $Q$ appartient à une certaine boule ouverte centrée en $P$ (pour une des normes équivalentes à préciser, la norme infinie pourrait accomplir des miracles ici)


On va quand même essayer d'éviter les clowneries, la norme infinie sur $\R$ n'étant pas franchement de bon ton dans ce contexte ! Zut, il va falloir faire des calculs :-( Allez, on va prendre la norme infinie sur les coefficients, et prier !
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Re: Topologie

Messagepar Tonn83 » Lundi 03 Janvier 2011, 11:30

Ce post date mais une remarque en passant. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Avec les notations ci-dessus, je conseille vivement de prendre la norme
$|P|=\max_{0\leq i\leq n} |P(a_i)|$ ou $\|P\|=\sqrt{\sum_{i=0}^n |P(a_i)|^2}$.
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Re: Topologie

Messagepar PRND » Lundi 03 Janvier 2011, 11:59

Ta deuxième norme ne sert à rien ici
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Re: Topologie

Messagepar Tonn83 » Lundi 03 Janvier 2011, 12:18

PRND a écrit:Ta deuxième norme ne sert à rien ici

Euh ... Elle est aussi utile ou inutile que la première. Je n'ai pas écrit et mais ou... Je voulais simplement indiquer qu'il y avait plusieurs choix de normes possibles. :D On pouvait également mentionner que l'application
$P\mapsto (P(a_0),P(a_1),\dots,P(a_n))$
est un isomorphisme vectoriel de $\R_n[X]$ dans $\R^{n+1}$, donc un homéomorphisme. Les polynômes $P$ vérifiant $P(a_{i-1})P(a_i)<0$ pour $1\leq i\leq n$ forment donc un ouvert de $\R_n[X]$ comme préimage d'un ouvert de $\R^{n+1}$ que je vous laisse décrire ...
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Re: Topologie

Messagepar Arthur Accroc » Lundi 03 Janvier 2011, 17:38

Tonn83 a écrit:
PRND a écrit:Ta deuxième norme ne sert à rien ici

Euh ... Elle est aussi utile ou inutile que la première. Je n'ai pas écrit et mais ou... Je voulais simplement indiquer qu'il y avait plusieurs choix de normes possibles. :D On pouvait également mentionner que l'application
$P\mapsto (P(a_0),P(a_1),\dots,P(a_n))$
est un isomorphisme vectoriel de $\R_n[X]$ dans $\R^{n+1}$, donc un homéomorphisme. Les polynômes $P$ vérifiant $P(a_{i-1})P(a_i)<0$ pour $1\leq i\leq n$ forment donc un ouvert de $\R_n[X]$ comme préimage d'un ouvert de $\R^{n+1}$ que je vous laisse décrire ...


Ne vous battez pas, j'ai trouvé ma solution ;-) Ce que je voulais dire à propos de norme pas adéquate, c'était que dans l'emportement de mon enthousiasme, j'avais essayé d'utiliser la norme de la convergence uniforme, qui est vraiment de peu d'utilité dans un espace de polynômes !

Sinon, l'idée de l'homéomorphisme est sympa, même si on la retrouve dans l'étude de l'application $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\mapsto (X-\lambda_1)\dots(X-\lambda_n)$, dont la différentielle rappelle les polynômes d'interpolation de Lagrange.

Encore merci pour le "truc initial" :-)
\bye

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