théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

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théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Messagepar nadia0016 » Dimanche 24 Novembre 2013, 01:13

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide SVP
$f$ la fonction définie par:
$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ de $[-1;1]$ vers $[-1;1]$

je veux montrer que $f$ est bijective en utilisant le théorème dite de la bijection(corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) :
si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ alors : $f$ est bijective de $[a;b]$ vers $[f(a),f(b)]$ (ou bien $[f(b),f(a)]$ si $f$ est décroissante)

Dans notre cas $f$ est continue sur $[-1;1]$
Et pour la monotonie j'ai calculée la dérivé de $f$ : $f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$
On a $1-x^2\geqslant0$ sur $[-1,1]$ donc $f'(x)\geqslant0$
et par conséquent $f$ est croissante sur $[-1;1]$ et non pas strictement croissante
Est ce que le théorème est toujours applicable même si la monotonie n'est pas stricte ?
Merci d'avance
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Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Messagepar guiguiche » Dimanche 24 Novembre 2013, 09:29

Bonjour

Il faut étudier les valeurs de x qui annulent la fonction dérivée. La croissance stricte est fondamentale : si f est continue et dérivable sur [a,b], si f' est strictement positive sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de réels de [a,b] alors f est strictement croissante sur [a,b].
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Messagepar nadia0016 » Dimanche 24 Novembre 2013, 19:08

guiguiche a écrit:Bonjour

Il faut étudier les valeurs de x qui annulent la fonction dérivée. La croissance stricte est fondamentale : si f est continue et dérivable sur [a,b], si f' est strictement positive sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de réels de [a,b] alors f est strictement croissante sur [a,b].

Merci de votre réponse
Donc si j'ai bien compris :
la dérivée de $f$ s'annule juste en deux points $-1$ et $1$, Alors on peut dire que $f$ est strictement croissante sur $[-1,1]$
c'est ça ?
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Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Messagepar balf » Dimanche 24 Novembre 2013, 19:38

Oui. Ça résulte du cas de base : si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable à l'intérieur ( dans ]a, b[) et si la dérivée y est strictement positive, alors la fonction est strictement croissante sur [a, b].

Autrement dit, ce qui se passe aux bornes n'a aucune importance, dès lors que la fonction reste continue. C'est comme pour les hypothèses du théorème des accroissements finis. Elle peut même ne pas être dérivable aux bornes (cf la fonction racine carrée).

B.A.
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Re: théorème des valeurs intermédiaires pour la bijection

Messagepar nadia0016 » Dimanche 24 Novembre 2013, 19:50

balf a écrit:Oui. Ça résulte du cas de base : si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable à l'intérieur ( dans ]a, b[) et si la dérivée y est strictement positive, alors la fonction est strictement croissante sur [a, b].

Autrement dit, ce qui se passe aux bornes n'a aucune importance, dès lors que la fonction reste continue. C'est comme pour les hypothèses du théorème des accroissements finis. Elle peut même ne pas être dérivable aux bornes (cf la fonction racine carrée).

B.A.

je vous remercie beaucoup :)
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