Théorème des fonctions implicites

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Théorème des fonctions implicites

Messagepar paspythagore » Dimanche 26 Janvier 2014, 21:15

Bonjour.
Avant de lire les réponses que vous m'avez apportées, je vous livre mes difficultés à comprendre l’utilisation de ce théorème sur un exercice que j'ai tenté de faire cet AM.
Dans un repère orthonormé du plan affine euclidien, la courbe $C$ a pour équation : $x^5-y^4+2x^3+4y^2+xy-3x=0$

Montrer qu'au voisinage de l'origine, l'équation de $C$ définit $x$ comme fonction implicite de $y$ et donner le développement limité d'ordre $3$ de cette fonction en $y=0$.

La fonction $f(x,y)=x^5-y^4+2x^3+4y^2+xy-3x=0$ est de classe $C^\infty$ et $\drac{\partial f}{\partial x}(0,0)\neq0$.

La relation $f(x,y)=0$ définit localement $x$ comme fonction implicite, soit $x=u(y)$ avec $u$ de classe $C^\infty$.

Sa dérivée est donnée par $u'(y)=\dfrac{-\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)}{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)}$, c'est à dire $u'(y)=\dfrac{4y^2-8y-x}{5x^4+6x^2+y-3}$, d'où $u'(0)=0$.

$u'(0)=\dfrac{x}{5x^4+6x^2-3}$ ?
Le développement recherché est de la forme $u(y)=ay^2+by^3+o(y^3)$.

Pourquoi ?
On en déduit $u^k(y)=O(y^{2k})$.

Comprends pas non plus.
...
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:01

Bonsoir,

Pour le début je suis d'accord : $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = -3 \neq 0$ donc le théorème des fonctions implicites s'applique.
Il est existe un intervalle ouvert $I$ centré en $0$ et un intervalle ouvert $J$ centré en $0$ également, et une fonction $u : I \to J$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que:

$$\for x \in I, \forall y \in J, x = u(y) \iff f(u(y),y)=0$$


Le TFI nous donne de plus le résultat suivant :

$$u'(0) = -\dfrac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)} = \frac{0}{-3} = 0$$


Vois-tu d'où sort ce résultat ? Dans le cas présent, il y a une démonstration toute bête, mais dans le cas général, on a un résultat analogue un peu plus difficile à montrer.

On cherche bien un DL de la forme $u(y) = ay^2 + by^3 + o(y^3)$.
On sait que $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ donc on peut exprimer $a$ et $b$ en fonction des dérivées successives de $u$.

Pour ce qui est de l'égalité $u^k(y) = O(y^{2k})$, je pense qu'il faut comprendre que la dérivée $k$-ième de $u$ est un "grand O" de $y^{2k}$ au voisinage de $0$, ce qui se démontre avec le théorème de dérivation d'un DL et le fait que $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

Est-ce que c'est un peu plus clair ? :)
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar paspythagore » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:18

Merci Minibob.
J'ai du mal à comprendre ce passage :

$$u'(0) = -\dfrac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)} = \frac{0}{-3} = 0$$



$y=0\Rightarrow x=0$ ?
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:24

Qu'est-ce qui te bloque exactement ?
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar paspythagore » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:26

Il y a quelque chose d'évident pour dire que $y=0\Rightarrow x=0$ que je ne sais plus. Trop de maths aujourd'hui peut être.
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:28

Il n'y a rien donne une telle implication.
Le calcul de $u'(0)$ vient de l'égalité $f(u(y),y)=0$ que l'on dérive par rapport à $y$ (on a le droit, si si ^^). Du coup, c'est un simple calcul de dérivée partielle de fonction composée. :)
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar balf » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:31

@paspythagore : oui, puisqu'on applique le théorème des fonctions implicites au voisinage du point (0,0) et donc u(0) = 0.

@Minibob59 : je ne pense pas qu'il s'agisse de la dérivée d'ordre k : il est écrit $\mathsf{u^k}$ et non $\mathsf{u^{(k)}}$. Pour la dérivée d'ordre k, je ne vois pas en quoi le fait que u(y) soit O(y²) (ce qui résulte juste de u'(0) = 0) entraînerait que la dérivée d'ordre k soit $\mathsf{O(u^{2k})}$. En revanche pour la puissance k-ième, je le vois très bien : ça fait partie des règles du calcul asymptotique.

B.A.
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Re: exercices sur le th; des fonctions implicites

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 22:34

"Oh la boulette" dirait J. Villeret ! :oops:
Effectivement, grosse bêtise que j'ai dite là ! balf a tout à fait raison : en élevant le DL à l'ordre 3 à la puissance $k$, on trouve facilement le résultat.
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