Théorème de Rouché

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Théorème de Rouché

Messagepar ptah sokar » Vendredi 22 Juin 2007, 19:35

Bonjour ! :lol:

J'ai une petite application du théorème de Rouché qui me pose sérieusement problème...

Soit $(f_n (z))_n$ une suite de fonctions analytiques dans un domaine D qui converge normalement vers f(z). On suppose que f(z) à un zéro d'ordre N $\in$ N\{0} en a $\in$ D.
Utiliser le théorème de Rouché pour montrer qu'il existe $\alpha$ > 0 tel que pour n suffisament grand $f_n$(z) a exavtement N zéros comptés avec mulitiplicités dans le disque |z-a|<$\alpha$.

Ensuite ils me proposent de démontrer le théorème suivant :
Si P = $x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$ est un polynome à coefficients réels qui vérifie $a_0 \ne 0 et |a_{n-1}| > 1 + |a_{n-2}| + ... + |a_0|$, alors P est irréductible dans Z [x].
Ils me demandent ici d'apliquer le théorème de Rouché à P(z) - $a_{n-1} z^{n-1}$ et à $a_{n-1} z^{n-1}$ sur le disque unité ; déduire le nombre de racines de P de module > 1 ; conclure par réduction à l'absurde en utilisant le fait que, à signe près, le terme libre d'un polynome est le produit de ses racines...
ptah sokar
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Messagepar Pythales » Samedi 23 Juin 2007, 16:19

Concernant la dernière question :
Soient $F(z)=P(z)-a_{n-1}z^{n-1}=z^n-a_{n-2}z^{n-2}-...-a_0$ et $G(z)=a_{n-1}z^{n-1}$
on aura $\frac{F(z)}{G(z)}=\frac{z^n-a_{n-2}z^{n-2}-...-a_0}{a_{n-1}z^{n-1}}$
donc, dans $|z|=1$ on aura $|\frac{F(z)}{G(z)}|<\frac{1+|a_{n-2}|+...+|a_0|}{a_{n-1}}<1$ par hypothèse.
D'après le théorème de Rouché, l'équation $F(z)+G(z)=P(z)=0$ a même nombre de zéros dans $|z|=1$ que $G(z)=a_{n-1}z^{n-1}$ c.a.d. $n-1$ zéros.
Donc $P(z)$ a un seul zéro de module >1.
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Messagepar Pythales » Samedi 23 Juin 2007, 16:22

Correction : dans l'expression de $F(z)$, changer les "$-$" en "$+$"
Ca ne change rien au résultat
Pythales
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