théorème de Rouché

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théorème de Rouché

Messagepar paspythagore » Samedi 29 Décembre 2012, 12:17

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour comprendre cet exercice.
si $n\in\N^*$, prouver à l'aide du théorème de Rouché que l'équation $e^z=3z^n$ a $n$ racines simples dans $D(0,1)$.

On pose $f(z)=e^z-3z^n$ et $g(z)=-3z^n$. Les fonctions sont holomorphes au voisinage de $D(0,1)$ et si $|z|=1, \left|f(z)-g(z)\right|=e^{Re\;z}\leq1<3=g(z)$. Par conséquent, d'aprés le théorème de Rouché, $f$ a autant de zéros dans $D(0,1)$ que $g$, c'st à dire $n$.

Pourquoi $g(z)=-3z^n$ a $n$ zéros ?
Que sont les zéros de $z^n$ (à part $z=0$) ? :oops:
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Re: théorème de Rouché

Messagepar balf » Samedi 29 Décembre 2012, 21:27

Le théorème de Rouché tient compte de la multiplicité des racines. Ici, 0 est racine d'ordre n de g(z).
D'autre part, pour f(z) — g(z), les racines dans D(0,1) sont simples (une racine multiple ne pourrait être que 0 ou n, et 0 n'est pas racine, tandis que n n'appartient pas à D(0,1).

B.A.
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Re: théorème de Rouché

Messagepar paspythagore » Samedi 29 Décembre 2012, 23:24

Merci pour ces précisions.
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