Théorème de représentation conforme de Riemann

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Théorème de représentation conforme de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Mars 2014, 15:40

Bonjour.
Je ne dois pas comprendre la signification de l’énoncé suivant :
Qoit $\Omega\subset\C$ un domaine simplement connexe différent de $\C$.
Alors il existe une représentation conforme de $\Omega$ sur $D(0,1)$.

Ca veut dire, il existe une fonction $f$ telle que $f(\Omega)\in D(0,1)$ ?
Quelle est la différence avec le lemme suivant ?
Ce lemme précise un peu plus les choses, il implique forcément le théorème ?
Soit $\Omega$ un domaine simplement connexe distinct de $\C$.
Alors il existe une représentation conforme $h$ de $\Omega$ sur un domaine $\Omega'$ contenu dans $D(0,1)$.

D'ailleurs ces notions sont encore reprises me semble t-il dans le lemme suivant :
Soit $\Omega\subset D(0,1)$ un domaine simplement connexe qui contient $0$ et :

$$\mathcal{F}_\Omega=\{ f\in\mathcal{O}(\omega);f\text{ injective },f(\Omega)\subset D(0,1),f(0)=0\}.$$


Soit $f\in\mathcal{F}_\Omega$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1)$f$ est une représentation conforme de $\Omega$ sur $D(0,1)$.
2) $|f'(0)|=\ds\sup_{g\in\mathcal{F}_\Omega}|g'(0)|$.


Pourtant ces 2 lemmes vont servir à démontrer le premier théorème.

Merci de vos éclaircissements.
paspythagore
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Re: Théorème de représentation conforme de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 09 Mars 2014, 17:23

paspythagore a écrit:Bonjour.
Je ne dois pas comprendre la signification de l’énoncé suivant :
Qoit $\Omega\subset\C$ un domaine simplement connexe différent de $\C$.
Alors il existe une représentation conforme de $\Omega$ sur $D(0,1)$.

Ca veut dire, il existe une fonction $f$ telle que $f(\Omega)\in D(0,1)$ ?

Pas n'importe quelle fonction : une bijection de Ω sur D(0,1) qui conserve localement les angles. C'est la même chose, en termes de fonctions de variables complexes, qu'une bijection holomorphe.
Quelle est la différence avec le lemme suivant ?
Ce lemme précise un peu plus les choses, il implique forcément le théorème ?
Soit $\Omega$ un domaine simplement connexe distinct de $\C$.
Alors il existe une représentation conforme $h$ de $\Omega$ sur un domaine $\Omega'$ contenu dans $D(0,1)$.

Il est une étape dans la démonstration du théorème. Après, il faudra démontrer que le théorème est vrai pour un domaine simplement connexe contenu dans Ω. C'est, semble-t-il, l'objet du lemme que vous mentionnez ensuite. La stratégie est de se ramener à un cas particulier, réputé plus facile, ou pour lequel on a plus de renseignements (ici, une caractérisation des représentations conformes).
Pourtant ces 2 lemmes vont servir à démontrer le premier théorème.

C'est bien ce que font les lemmes, d'habitude, non ?

B.A.
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Re: Théorème de représentation conforme de Riemann

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Mars 2014, 22:18

Bonsoir.
Quelle est la différence entre "Alors il existe une représentation conforme de $\Omega$ sur $D(0,1)$." et "Alors il existe une représentation conforme $h$ de $\Omega$ sur un domaine $\Omega'$ contenu dans $D(0,1)$."

J'ai l'impression que le second implique le premier et non l'inverse.

C'est cela que je ne comprends pas.
paspythagore
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Re: Théorème de représentation conforme de Riemann

Messagepar balf » Dimanche 09 Mars 2014, 23:26

Dans la premier cas, l'image de la représentation conforme est D(0,1) (tout entier) ; dans le second, Ω' tout entier (il est écrit sur et non pas dans.

B.A.
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