Théorème de Hasse

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Théorème de Hasse

Messagepar andrea » Lundi 07 Janvier 2008, 15:48

Bonjour j'ai besoin d'aide pour établir une démonstration un peu abstraite:

Soit p un nombre premier impair.
1. Soit $a,b,c \in\mathbb{Z}_{p}^{\times}$. Montrer que $ax^2+by^2+cz^2=0$ possède des solutions non triviales dans $\mathbb{Q}_{p}$.
2. En déduire que $a_1x_1^2+....+a_nx_n^2=0$ possède des solutions non triviales dans $\mathbb{Q}_{p}$ si $n>5$ (ou les $a_i\in\mathbb{Q}_{p}$ sont non nuls).

Merci pour votre aide.
andrea
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Re: Théorème de Hasse

Messagepar balf » Mardi 08 Janvier 2008, 14:42

Est-ce que le lemme de Hensel fait partie de votre cours ? Il permet de ramener la résolution dans $\Z_p$ à une résolution dans $\Z/p\Z$.

B.A.
balf
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Re: Théorème de Hasse

Messagepar andrea » Mardi 08 Janvier 2008, 16:44

Non, malheureusement je ne connais pas le lemme de Hensel, pourriez-vous me l'énoncer?
Merci beaucoup
andrea
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Re: Théorème de Hasse

Messagepar balf » Mardi 08 Janvier 2008, 17:49

Voici un extrait d'une conférence relativement accessible (en partie) où est énoncé une version du lemme de Hensel, avec un exemple d'application. Je crois me rappeler que sa démonstration commence par le cas d'un seul polynôme à une indéterminée, et les autres cas par récurrence. S'il y a des difficultés, faites-moi savoir.

B.A.
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Re: Théorème de Hasse

Messagepar andrea » Mercredi 09 Janvier 2008, 12:04

merci beaucoup!
andrea
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