Théorème de Ceva

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Théorème de Ceva

Messagepar jobherzt » Mercredi 21 Juin 2006, 16:06

bonjour, je bute un peu sur un exercice, qui semble etre la demonstration du theoreme de ceva :

soit Un triangle abc et a',b',c' appartenant reciproquement au segments ouverts ]c,b[, ]a,c[, ]a,b[. montrer que (aa'),(bb'),(cc') se coupent en un point si et seulement si

$$|a-b'||b-c'||c-a'|=a'-b||b'-c||c'-a|$$



j'en ai vu quelques demos, en general en utilisant les barycentres, mais j'aimerais bien le faire en version geometrie analutique.. j'ai essayé de poser un repere tel que a=(0,0), b=(0,1) et c=(1,0), ca simplifie les calculs mais je bloque quand meme...

un petit dessin d'un cas particulier ou ca marche, quand a',b' et c' sont les points de contact du cercle inscrit...
Image
a ce propose, je me demande, comment montre on dans ce cas precis, que ca'=cb' etc ??bref, que le cercle inscrit cree 3 trinagles isocels ??

merci a ceux qui auront des idees !! ( et aux autres aussi, allez ?? )
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Messagepar rebouxo » Mercredi 21 Juin 2006, 17:30

Pas d'idée, mais démontrer Ceva à l'aide de la géométrie analytique, c'est presque une faute de gout :P.

Si en faite j'ai une idée (confirmé par le Sortais, Géométrie du triangle, p. 22) il y a une démonstration avec Thalès.

En fait le théorème reste vraie si les droites sont parallèles (d'où Thalès).

Quand les droites sont concourantes, ils utilisent Ménélaüs ou les Barycentres ou avec des homothéties.

En faite les théorèmes de Céva et de Ménélaüs peuvent être démontrés en Géométrie projective.

Olivier
Dernière édition par rebouxo le Jeudi 29 Juin 2006, 20:29, édité 1 fois.
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Messagepar jobherzt » Mercredi 21 Juin 2006, 17:36

en fait, j'ai un peu honte de l'avouer, mais :

je suis en erasmus, et donc j'ai des cours plus facile que ce que ca devrait, et d'autre pas mal plus dur.. moralité, je fais un peu l'impasse sur les cours supposé plus simple ( mais ca n'est pas tjrs le cas). donc je ne sais pas trop ce que j'ai le droit d'utiliser.. je me dis qu'un bout d'algebre lineaire, c'est universel.. mais c'est vrai que ca devitn vite violent dans ce cas !!
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Messagepar rebouxo » Mercredi 21 Juin 2006, 20:53

Ben Thalès c'est un peu universel aussi, ça doit être dans tous les cursus du secondaire, non :P

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Messagepar Bruno » Jeudi 29 Juin 2006, 17:23

Bonjour.

Une solution analytique qui n'a rien d'une faute de goût consiste à utiliser les coordonnées barycentriques (c'est de l'algèbre linéaire dans l'espace adjoint).

Je prends un triangle $ABC$ non aplati que je choisis comme repère du plan.

Première étape, déterminer les équations barycentriques des droites $(AA'),\ (BB'),\ (CC')$. Tout ceci est facile à obtenir, on fait les calculs concernant $A'$ puis on fait des permutations des paramètres. Le point $A'$ a pour coordonnées barycentriques $(0,\alpha,1 - \alpha)$ ; la droite $(AA')$ a une équation barycentrique de la forme : $a\,X + b\,Y + c\,Z = 0$ et nous déterminons les paramètres $(a,b,c)$ définis à un facteur près par les deux conditions : $A(1,0,0)$ et $A'$ appartiennent à la droite, on obtient comme équation barycentrique :[center]$(\alpha - 1)\,Y + \alpha\,Z = 0.$[/center]Par permutations circulaire, les deux autres droites ont pour équations barycentriques :[center]$\begin{array}{rcl}(BB') &:: &\beta\,X + (\beta - 1)\,Z = 0 \\ (CC') &:: &(\gamma - 1)\,X + \gamma\,Y = 0.\end{array}$[/center]Les trois droites sont alors concourantes ou parallèles si le système linéaire et homogène a une solution non banale donc la condition nécessaire et suffisante pour que les trois droites soient parallèles ou concourantes est :[center]$\begin{vmatrix}0 &\beta &\gamma - 1 \\ \alpha - 1 &0 &\gamma \\ \alpha &\beta - 1 &0\end{vmatrix} = 0$[/center]Développer le déterminant est enfantin ; on obtient :[center]$\alpha\,\beta\,\gamma + (\alpha - 1)\,(\beta - 1)\,(\gamma - 1) = 0.$[/center]Il reste à calculer les trois paramètres en fonction des données, en utilisant la formule vectorielle de Leibniz, on obtient :[center]$\displaystyle{\alpha = \frac{\overline{BA'}}{\overline{BC}}} \quad \mathrm{et} \quad 1 - \alpha = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CB}}}.$[/center]On écrit alors la formule et on obtient la condition de Jean de Céva.

L'intérêt, c'est que cette méthode se généralise à un espace affine de dimension $n$.
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