Théorème d'inversion locale - Démonstration

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Théorème d'inversion locale - Démonstration

Messagepar yodai » Dimanche 18 Mai 2014, 17:31

Bonjour, voici un énoncé du théorème d'inversion locale :

Image


Je ne comprends pas le début de la démonstration dans le Gourdon (p.321-322)

On considère $x \longmapsto {df_a}^{-1}(f(a+x)-f(a))$
On suppose que $a=0, f(a)=0$ et $df_a=id_E$

On veut montrer que : $\exists r, \forall x \in B(0,r) $ (boule fermée) $||| {df_x}^{-1}||| \leq 2$

Comme $U$ est ouvert, $\exists r, \forall x \in B(0,r) \subset U$



C'est ici que je ne comprends pas : Comme $f$ est $C^1$ :
$\forall x \in B(0,r)$ (boule fermée) $ |||df_x- df_0||| = |||fd_x-id_E||| \leq \dfrac{1}{2} $


Je ne comprends pourquoi il y a le $\dfrac{1}{2} $ .

ce que je crois c'est que puisque $f$ est $C^1$, alors l'applicatin $df$ est continue, donc :

$\forall \varepsilon \exists $ un voisnage de 0 (par exemple une boule fermé dans U) tel que $|||df_x- df_0||| = |||fd_x-id_E||| \leq  \varepsilon$

On seulement choisit $ \varepsilon=  \dfrac{1}{2} $; est-ça??

Merci pour vos réponses
yodai
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Re: Théorème d'inversion locale - Démonstration

Messagepar balf » Vendredi 23 Mai 2014, 23:04

Je ne sais pas si c'est ça : il faudrait voir la suite — Je n'ai pas le bouquin de Gourdon. Votre question est d'autant moins compréhensible que vous écrivez à deux reprises : $f d_x$, qui n'est défini nulle part. S'agit-il d'une coquille pour $d f_x$ ?

B.A.
balf
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