Théorème d'Euler

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Théorème d'Euler

Messagepar andrea » Jeudi 27 Décembre 2007, 16:29

Voici un exercice concernant le théorème d'Euler que j'ai du mal à résoudre:

1) Soient p et q des nombres premiers impairs distincts tels que p-1 divise q-1. Montrer que $m^{q-1}\equiv 1$ mod pq pour tout m premier à pq.

Je ne sais pas du tout comment commencer.

Merci pour votre aide...
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Re: Théorème d'Euler

Messagepar Arnaud » Jeudi 27 Décembre 2007, 16:44

Que vaut $\varphi(p)$ ?
Que vaut $\varphi(pq)$ ?
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
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Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Re: Théorème d'Euler

Messagepar dark_forest » Jeudi 27 Décembre 2007, 16:54

Bonjour,

Si $m$ est premier avec $pq$, en particulier il est premier avec $p$ et $q$ qui sont des nombres premiers, donc $m^{p-1}=1 \text{(mod p)}$ et $m^{q-1}=1\text{(mod q)}$ par le petit Th de Fermat. En fait, on peut s'en sortir en écrivant $q-1=k(p-1)$ pour faire apparaitre les meme quantités dans les deux égalités, puis utiliser le fait que $p$ et $q$ sont premiers entre eux (deux nombre premiers distincts). Voila, je te laisse faire la suite.

En espérant t'avoir aidé.
dark_forest
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Re: Théorème d'Euler

Messagepar andrea » Jeudi 27 Décembre 2007, 18:10

merci :-)
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Re: Théorème d'Euler

Messagepar andrea » Vendredi 28 Décembre 2007, 10:28

j'arrive au système suivant:

$$m^{p-1}\equiv 1 mod p$$


$$m^km^{p-1}\equiv 1 mod q$$



mais ensuite je ne vois pas trop comment continuer....
Merci beaucoup!
andrea
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Re: Théorème d'Euler

Messagepar dark_forest » Vendredi 28 Décembre 2007, 12:06

$q-1=k(p-1)$, donc $m^{q-1}=m^{k(p-1)}=1 \text{ (mod q)}$ puis comme on a $m^{p-1}=1 \text{ (mod p)}$ on a aussi $m^{k(p-1)}=1 \text{ (mod p)}$. Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc....

edit : pour faire des jolis $\text{ (mod p)}$, \text{ (mod p)} ;)
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