[MPSI] Suites adjacentes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[MPSI] Suites adjacentes

Messagepar nic13 » Lundi 09 Octobre 2006, 21:46

Bonjour,

Je suis coincé dans un exo dont l'énoncé est le suivant :

Montrer que les suites (Un) et (Vn) définies par :

Uo=1, Vo=2, (2/Un+1)=(1/Un)+(1/Vn) , Vn+1=(Un+Vn)/2
sont rationnelles, adjacentes et que leur limite est racine carrée de 2.

Pour montrer qu'elles etaient rationnelles, j'ai utilisé la récurrence. Mais je bloque pour montrer qu'elles sont adjacentes.(J'ai essayé Un+1-Vn+1, je trouve -(Un-Vn)²/2(Un+Vn), je sais pas quoi en faire, ni étudier le signe).

Quelqu'un aurait-il une idée pour m'aider?

Merci d'avance.

Nicolas
nic13
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Re: [MPSI] Suites adjacentes

Messagepar guiguiche » Lundi 09 Octobre 2006, 21:54

nic13 a écrit:J'ai essayé Un+1-Vn+1, je trouve -(Un-Vn)²/2(Un+Vn), je sais pas quoi en faire, ni étudier le signe.

Cela donne:

$$|v_{n+1}-u_{n+1}|=|v_n -u_n|\dfrac{|v_n - u_n|}{2(v_n + u_n)}\leq \dfrac{|v_n -u_n|}{2}$$


puisque les suites sont positives. Je te laisse conclure.
guiguiche
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