Suite numérique exo 3

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Suite numérique exo 3

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 16:21

Bonjour à tous
On considére la suite u définie par

Quelquesoit $n \in N$ $u_{n+1}=\dfrac{2-u_n}{2(1+u_n)}$ avec $u_0=0$

On pose Quelquesoit $n \in N$ $v_n=\dfrac{u_n-\frac{1}{2}}{u_n+2}$

-Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$

-En déduire $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$

-En déduire la convergence de la suite $u$



Premiere question


$v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2-u_n}{2(1+u_n)} -\frac{1}{2}}{\dfrac{2-u_n}{2(1+u_n)} +2}=\dfrac{1-2u_n}{6+3u_n}=\dfrac{-2(u_n-\dfrac{1}{2})}{3(u_n+2)}=\dfrac{-2}{3}\,\,v_n$

avec $u_n=-\dfrac{1+4v_n}{2(v_n-1)}$


Deuxieme question

Comme c'est une suite géometrique $v_{n+1}=qv_n\Rightarrow q=-\dfrac{2}{3}$

$v_n=(-\dfrac{2}{3})^nv_0$

Calcul de v_n

$v_n=(-\dfrac{2}{3})^nv_0$

Calcul de v_0

$n \in N$ $u_{n+1}=\dfrac{2-u_n}{2(1+u_n)}$ avec $u_0=1$


$v_n=\dfrac{u_n-\frac{1}{2}}{u_n+2}$ donc $v_0=-\dfrac{1}{4}$

$v_n=(-\dfrac{2}{3})^n(-\dfrac{1}{4})$

ensuite on me demande de déduire$u_n$ si je déduis$u_n$ de $u_n=-\dfrac{1+4v_n}{2(v_n-1)}$

je coince je trouve pas quelquechose de cohérent :?:
Dernière édition par celtic le Samedi 24 Novembre 2007, 17:25, édité 1 fois.
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar Jean-charles » Samedi 24 Novembre 2007, 16:35

Il ne te reste plus qu'à remplacer $v_n$ par ce que tu as trouvé en fonction de $n$ pour trouver $u_n$...
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar kojak » Samedi 24 Novembre 2007, 16:46

bonjour Celtic,
celtic a écrit: je coince je trouve pas quelquechose de cohérent :?:
Ce n'est pas le problème ici : en fait la ruse est celle donnée par l'énoncé...
En clair : il n'y a pas moyen de dire directement, ou quasi directement, que ta suite $u_n$ est convergente ou pas, et si oui, quelle est sa limite... sans aucune indication ou presque, c'est à dire, sans étudier les variations de ta suite (par récurrence) ainsi que démontrer par récurrence qu'elle est bornée ,etc... Donc, on introduit une suite auxiliaire, ici $v_n$, qui va être géométrique dans ton cas, ou arithmétique : pourquoi ? car pour ces 2 types de suites, on est capable d'exprimer explicitement $v_n$ en fonction de $n$, comme tu l'as fait.. Et donc en remplaçant, tu obtiens l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. Et là tu pourras conclure sur la limite ou pas de ta suite $u_n$. Tu as l'impression que ta suite $v_n$ arrive comme un cheveu sur la soupe, mais ce n'est pas le cas :wink:
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 17:23

Salut à tous


$v_n=(-\dfrac{2}{3})^n(-\dfrac{1}{4})$ avec $u_n=-\dfrac{1+4v_n}{2(v_n-1)}$

$u_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-\frac{2}{3})^n -1}{(-\frac{2}{3})^n(-\frac{1}{4}-1)}$ et là je ne vois pas comment simplifié :idea:
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar kojak » Samedi 24 Novembre 2007, 17:26

Et ben, tu laisses tel quel : ça ne sert à rien de simplifier pour avoir la limite de $u_n$.
Quelle est la limite de $v_n$ :?: et pourquoi :?: et donc tu auras la limite de $u_n$ :wink:
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar Jean-charles » Samedi 24 Novembre 2007, 17:29

celtic a écrit:$u_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-\frac{2}{3})^n -1}{(-\frac{2}{3})^n(-\frac{1}{4}-1)}$

Il me semble que tu as une petite erreur au dénominateur...
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 17:32

La limite de $v_n$ qd $n \rightarrow +\infty$ est $-\infty$

$u_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-\frac{2}{3})^n -1}{(-\frac{2}{3})^n(-\frac{1}{4})-1}$

Donc$u_n\rightarow \dfrac{-\infty}{-\infty}\rightarrow 1$ quand $n\rightarrow +\infty$ :?:
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar Jean-charles » Samedi 24 Novembre 2007, 17:40

Non vers quoi tend $a^n$ quand $n$ tend vers l'infini pour $|a|<1$ ?
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 17:44

La limite de $v_n$ qd $n \rightarrow +\infty$ est $-1$

$u_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-\frac{2}{3})^n -1}{(-\frac{2}{3})^n(-\frac{1}{4})-1}$

Donc$u_n\rightarrow \dfrac{4}{3}$ quand $n\rightarrow +\infty$ :?:
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar Jean-charles » Samedi 24 Novembre 2007, 17:55

Non $v_n$ ne tend pas vers $-1$.
Regarde dans tes cours la limite de $a^n$...
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 18:47

La limite de $v_n$ qd $n \rightarrow +\infty$ est $0$
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Re: Suite numérique exo 3

Messagepar Jean-charles » Samedi 24 Novembre 2007, 19:38

Oui c'est bien 0.
Tu as $\ds\lim_{n \rightarrow +\infty} a^n=0$ quand $|a|<1$.
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