Suite numérique (exo 2)

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Suite numérique (exo 2)

Messagepar celtic » Vendredi 23 Novembre 2007, 09:18

Bonjour à tous

On considére les suites $u$et $v$ définies par:

Quelquesoit $n \in N$ : $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ ;$v_{n+1}=\sqrt{u_n-v_n}$ avec$u_0=3$ et $v_0=1$

1)Démontrer $0\leq v_n\leq u_n\leq 3$

2)Etudier les variations de $u$et $v$

3)En déduire que$u$et $v$convergent


Afin de traiter la permiere question dois je trouver le minorant et le majorant :?:
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar Jean-charles » Vendredi 23 Novembre 2007, 09:51

Bonjour,
Tu peux faire tout d'un coup par récurrence en posant comme hypothèse de récurrence $H_n: 0\leq v_n\leq u_n\leq 3$
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar celtic » Vendredi 23 Novembre 2007, 12:11

Salut jean-Charles

Dois je appliquer cette méthode :?:

1-On vérifie $U_0$

2- Pour un n donné on admet $U_n$

3-On démontre$U_{n+1}$
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar Jean-charles » Vendredi 23 Novembre 2007, 12:19

Il faut que tu fasses tout en maintenant:
Tu vérifies $H_0: 0\leq  v_0 \leq u_0  \leq 3 $
Puis tu supposes que $H_n$ est vraie au rang $n$ ...
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar dark_forest » Vendredi 23 Novembre 2007, 23:18

Je le trouve bizzare quand meme cet exercice, je ne sais pas vous ?
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar Jean-charles » Vendredi 23 Novembre 2007, 23:39

Oui moi aussi, je me demande si il n'y a pas une erreur dans l'énoncé ?....
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar dark_forest » Vendredi 23 Novembre 2007, 23:50

Surtout il y a une faute de logique, on définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ puis on demande a la première question de démontrer que $v_n \leq u_n$, alors que cette condition est necessaire pour que les suites soient bien définies. Je pense que l'auteur de l'exercice n'a pas voulu s'embetter avec ca, donc il ne faut peut etre pas en tenir compte.
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar Jean-charles » Vendredi 23 Novembre 2007, 23:56

Je pense qu'il est possible que ce soit plutôt $v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}$
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar dark_forest » Samedi 24 Novembre 2007, 00:08

En effet je confirme, il y a une erreur dans l'énoncé, d'apres ma calculette, $u_7=0.50$ et $v_7=0.76$.
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar celtic » Samedi 24 Novembre 2007, 11:09

Bonjour à tous,

J'ai vérifié sur le polycopié du prof, c'est bien écrit que $v_{n+1}=\sqrt{u_n-v_n}$

J'ai cours lundi, je poserais la question

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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar Framboise » Samedi 24 Novembre 2007, 11:27

On obtient la suite avec le signe -:

0 3.000000 1.000000
1 2.000000 1.414214
2 1.707107 0.765367
3 1.236237 0.970433
4 1.103335 0.515562
5 0.809448 0.766664
6 0.788056 0.206845
7 0.497450 0.762372
8 0.629911 racine d'un nombre négatif !

avec multiplication:
0 3.000000 1.000000
1 2.000000 1.732051
2 1.866025 1.861210
3 1.863618 1.863616
4 1.863617 1.863617
5 1.863617 1.863617
....
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Re: Suite numérique exo 2

Messagepar celtic » Samedi 01 Décembre 2007, 11:18

Bonjour à tous

Effectivement il y avait bien une erreur dans l'énoncé, je vous joint également le corrigé du prof pour votre information

On considére les suites $u$et $v$ définies par:

Quelquesoit $n \in N$ : $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ ;$v_{n+1}=\sqrt{u_n\times v_n}$ avec$u_0=3$ et $v_0=1$

1)Démontrer $0\leq v_n\leq u_n\leq 3$

2)Etudier les variations de $u$et $v$

3)En déduire que$u$et $v$convergent


Démonstration par récurrence

Etape 1 On vérifie$(p_0)$

c'est établis que $0\leq v_0\leq u_0\leq 3 \Rightarrow  0\leq 1\leq 3\leq 3$

Etape 2

On admet pour un $n$ donné on a $(P_n)$ $0\leq v_n\leq u_n\leq 3$

Etape 3

On demontre $P_{n+1}$

$0\leq v_{n+1}\leq u_{n+1}\leq 3$ Est ce vrai ?

Evidence de$\begin{cases} \begin{cases} u_n\geq 0 \Rightarrow  u_{n+1}\geq 0 \\ v_n\geq 0 \Rightarrow  v_{n+1}\geq 0\end {cases}\\  \begin{cases} u_n\leq 3 \Rightarrow  u_{n+1}\leq 3 \\ v_n\leq 3 \Rightarrow  v_{n+1}\leq 3\end {cases}\end{cases}$

Il reste à démontrer que $V_{n+1}\leq u_{n+1}$

C'est à dire $v_{n+1}=\sqrt{u_n\times v_n}\leq \dfrac{u_n+v_n}{2}$

$\begin{cases}u_{n+1}\geq 0 \\v_{n+1}\geq 0\end{cases}\Rightarrow u_n\times v_n\leq \dfrac{u_n+v_n}{2}$

$0\leq v_{n+1}\leq u_{n+1}\leq 3$ Est vrai
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