[MPSI] suite integrale

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[MPSI] suite integrale

Messagepar acid24 » Lundi 17 Juillet 2006, 10:04

Bonjour,
le but de cet exo est de trouver la limite suivante, si elle existe:
$f,g \in  \mc{C}[0,1]$
$\ds{\lim_{n\rightarrow \infty} ~ \dfrac{1}{n^2} \sum_{0 \leq i < j \leq n}^n g  ( \frac{i}{n}  ) f  ( \frac{j}{n}  )}$

sachant que si f = g on a, en prenant F primitive de f s'annulant en 0:
$\ds{\lim_{n\rightarrow \infty} ~ \dfrac{1}{n^2} \sum_{0 \leq i < j \leq n}^n f  ( \frac{i}{n}  ) f  ( \frac{j}{n}  )=\dfrac {F(1)^2}{2} = \int_0^1 \!\! \int_0^x f(t) ~ d t \cdot f(x)~ d x }$

résultat qui se trouve par developpement de la somme riemann suivante
$\ds{\left ( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})  \right )^2 }$

donc je pense que
$\ds{\lim_{n\rightarrow \infty} ~ \dfrac{1}{n^2} \sum_{0 \leq i < j \leq n}^n g  ( \frac{i}{n}  ) f  ( \frac{j}{n}  ) = \int_0^1 \!\! \int_0^x g(t) ~ d t \cdot f(x)~ d x   }$
mais je n'arrive pas à le prouver .....
merci de toute indication :)
acid24
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Messagepar P.Fradin » Lundi 17 Juillet 2006, 11:35

Les grandes lignes:

Soit $G(x)=\int_0^x g(t)\,dt$, soit $u_n$ votre suite, alors on écrit:

$$\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 u_n&=&\frac1n\sum_{j=1}^n \left(\frac1n\sum_{i=0}^{j-1}g(\frac in)\right)f(\frac jn)\\\\
 &=& \frac1n\sum_{j=1}^n G(\frac jn)f(\frac jn)- \frac1n\sum_{j=1}^n f(\frac jn)T_{n,j}
 \end{array}$$



avec $T_{n,j}= G(\frac jn)-\frac1n\sum_{i=0}^{j-1}g(\frac in)$, or cette dernière somme est aussi égale à $\frac j{nj} \sum_{i=0}^{j-1}g(\frac {ij}{nj})$,
c'est une somme de Riemann pour la fonction g sur $[0,\frac jn]$ (découpage en j morceaux). Grace à l'uniforme continuité de g on montre que pour n assez grand on a $|T_{n,j}|\leq \varepsilon$ indépendamment de j. Je vous laisse poursuivre...
P.Fradin
 

Messagepar acid24 » Lundi 17 Juillet 2006, 13:46

merci de votre réponse si rapide :),
j'ai juste du mal avec la fin , pour j fixé
$\frac j{nj} \sum_{i=0}^{j-1}g(\frac {ij}{nj})$ est une somme de reimann sur$[0,\frac jn]$,
mais quel argument invoquer pour dire que pour n grand cette somme tend vers 0 ? ( car j est fixé donc on augmente pas le nombre de "morceaux" de la somme quand n augmente)
acid24
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Messagepar P.Fradin » Lundi 17 Juillet 2006, 14:34

Il faut se souvenir de la démonstration du théorème sur les sommes de Riemann:

$$G(\frac jn)-\frac j{nj} \sum_{i=0}^{j-1}g(\frac {ij}{nj})=
 \sum_{i=0}^{j-1} \int_{i/n}^{(i+1)/n} [g(t)-g(\frac {i}{n})]\,dt$$



On se donne $\varepsilon>0$, d'après l'uniforme continuité de $g$, pour n assez grand on aura: $|\int_{i/n}^{(i+1)/n} [g(t)-g(\frac {i}{n})]\,dt|\leq \frac{\varepsilon}n$ et donc:

$$|G(\frac jn)-\frac j{nj} \sum_{i=0}^{j-1}g(\frac {ij}{nj})|\leq \frac{\varepsilon j}n\leq\varepsilon$$

.
P.Fradin
 

Messagepar acid24 » Lundi 17 Juillet 2006, 14:57

encore merci , c'est net, précis et "imparable" :!:
Cet exo est-il un "classique" de taupe ? (moi qui pensais sortir un peu des sentiers battus ... :( )
acid24
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