Suite de C_0

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Suite de C_0

Messagepar lat_ex » Dimanche 11 Février 2007, 09:37

Bonjour,
je considère une suite $(x_i)_{i \in \mathbb{N}} \subset C_0$ et je suppose que cette suite est telle que $\exists ! j \in \mathbb{N}$ tel que $\max_{i \in \mathbb{N}}|x_i|=|x_j|(=\|(x_i)_i\|_{\infty})$
(donc $\forall i \neq j$ , $|x_i| < |x_j|$ )
Est-ce que je peux affirmer qu'alors $\exists \epsilon \in ]0,1[$ tel que $\forall i \neq j$, $|x_i+ \epsilon| < |x_j + \epsilon|$ et $|x_i- \epsilon| < |x_j - \epsilon|$?
merci
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Messagepar guiguiche » Dimanche 11 Février 2007, 10:17

C'est quoi ton $C_0$ ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 11 Février 2007, 10:20

Bonjour lat_ex,

A partir d'un rang N>0 on a $|x_i| <\frac{|x_j|}2$. Pour i entre 0 et N-1 et différent de j il existe $\varepsilon_i\in]0,1[$ tel que:

$$|x_i\pm \varepsilon_i| \leq |x_i|+\varepsilon_i < |x_j|-\varepsilon_i\leq |x_j\pm \varepsilon_i|$$



pour $i\geq N$ il existe $\varepsilon'\in]0,1[$ tel que:

$$|x_i\pm \varepsilon'| \leq |x_i|+\varepsilon' < \frac{|x_j|}2+\varepsilon'\leq |x_j|-\varepsilon' < |x_j\pm \varepsilon'|$$



A priori, je pense que $\varepsilon= \mathrm{Min}(\varepsilon', (\varepsilon_i))$ doit convenir.
P.Fradin
 

Messagepar José » Dimanche 11 Février 2007, 10:20

Bonjour,
avant de répondre, juste pour être sur de parler de la même chose : $C_0$ pour moi j'aurai tendance à dire que c'est l'ensemble des fonctions continues qui tendent vers 0 à l'infini...c'est bien ça ?

[EDIT] WOUA ! Grillé par Guiguiche et Fradin
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José
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Messagepar guiguiche » Dimanche 11 Février 2007, 10:22

José a écrit:Bonjour,
avant de répondre, juste pour être sur de parler de la même chose : $C_0$ pour moi j'aurai tendance à dire que c'est l'ensemble des fonctions continues qui tendent vers 0 à l'infini...c'est bien ça ?

[EDIT] WOUA ! Grillé par Guiguiche et Fradin

En plus, on parle de suites ici.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar lat_ex » Dimanche 11 Février 2007, 10:50

$\rightarrow$ guiguiche et José :
$C_0 = \{ (x_i)_{i \in \mathbb{N}} : \forall i \in \mathbb{N}, x_i \in \mathbb{R}$ et $ \lim_{i \to \infty} x_i =0 \}$
Et on muni $C_0$ de la norme $\|\cdot\|_{\infty}$
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Messagepar lat_ex » Dimanche 11 Février 2007, 11:28

P.Fradin a écrit:

$$ |x_j|-\varepsilon_i\leq |x_j + \varepsilon_i|$$



Merci pour ta réponse P.Fradin , est-ce que tu peux me dire comment on justifie cette inégalité stp?
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 11 Février 2007, 11:51

lat_ex a écrit:
P.Fradin a écrit:

$$ |x_j|-\varepsilon_i\leq |x_j + \varepsilon_i|$$



est-ce que tu peux me dire comment on justifie cette inégalité stp?


Conséquence de l'inégalité triangulaire, plus précisément on a (dans C):

$$||x|-|y||\leq |x\pm y|\leq |x|+|y|$$

P.Fradin
 

Messagepar lat_ex » Dimanche 11 Février 2007, 12:29

Ok merci, je pensais que cette inégalité était seulement vrai pour $-$ : $||x|-|y||\leq |x- y|$
Je ne savais pas qu'on avait aussi $||x|-|y||\leq |x+ y|$.
lat_ex
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 11 Février 2007, 12:53

lat_ex a écrit:Ok merci, je pensais que cette inégalité était seulement vrai pour $-$ : $||x|-|y||\leq |x- y|$
Je ne savais pas qu'on avait aussi $||x|-|y||\leq |x+ y|$.


Il suffit de remplacer y par -y ...
P.Fradin
 

Messagepar lat_ex » Dimanche 11 Février 2007, 13:27

ben oui... :cursing:





j'ai remarqué qu'à force de faire des trucs de plus en plus compliqué, on en oublie les bases et on ne sait plus faire un raisonnement simple ... et après on se sent vraiment stupide...
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