Stabilisateur de SO(3)

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Stabilisateur de SO(3)

Messagepar woodoo » Vendredi 28 Février 2014, 11:33

Bonjour,

Il y a un point de mon cours d'algèbre que je ne comprend pas: c'est un exemple.

Dans $\R^3$, on considère le groupe $SO(3)$ des rotations de $\R^3$ qui fixent $O$. On le fait agir naturellement sur $\R^3$. L'orbite de $x$ sous $SO(3)$ est la sphère centrée en $O$ et de rayon $R$ (ça c'est OK). Si $y$ est dans cette sphère, on peut envoyer $x$ sur $y$ par une rotation d'axe perpendiculaire au plan $Oxy$ (ça c'est bon aussi). Les orbites de cette action sont donc les sphères concentriques (elles sont entièrement déterminées par leur rayon et forment une partition de l'espace). Le stabilisateur de $x$ est l'ensemble des rotations autour de la droite $Ox$ (jusqu'ici c'est bon). C'est un groupe qui s'identifie au groupe $SO(2)$ des rotations du plan $\R^{2}$ qui fixent $O$.


C'est cette dernière phrase que je ne comprend pas. Je ne vois pas pourquoi le stabilisateur s'identifie au groupe $SO(2)$. On note $G_x = \{g \in G:\ g\cdot x = x\}$ le stabilisateur d'un point $x$ arbitraire de la sphère. Est-ce que c'est parce que les seules rotations qui fixent $x$ sont les mêmes que celles de $SO(2)$?

Merci d'avance, et bonne journée!
woodoo
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Re: Stabilisateur de SO(3)

Messagepar balf » Vendredi 28 Février 2014, 12:37

C'est parce qu'une rotation d'axe Ox induit sur tout plan perpendiculaire à Ox une rotation de centre l'intersection de ce plan et de Ox, et ce plan est isomorphe (en tant qu'espace affine euclidien) à R².

B.A.
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Re: Stabilisateur de SO(3)

Messagepar woodoo » Lundi 03 Mars 2014, 22:37

Merci pour votre réponse!

Et ce raisonnement se généralise pour tout axe de rotation, bien entendu?

Bonne soirée.
woodoo
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Re: Stabilisateur de SO(3)

Messagepar balf » Lundi 03 Mars 2014, 23:37

Oui, bien entendu. En revanche, en dimension > 3, je ne sais pas – tout ce que je sais, c'est qu'en dimension n, c'est plus compliqué que la simple « rotation » autour d'un sous-espace de dimension n – 2.
balf
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