Sphère euclidienne unité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Sphère euclidienne unité

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 15:31

Bonjour, je bloque un peu sur cette exercice.
Soit $n\ge 0$. Dans $\R^{n+1}$ muni des coordonées usuelles on désigne par $S^n=\{(x_1,...,x_{n+1})\in\R^{n+1}\,,x_1^2+...+x_{n+1}^2=1\}$ la sphère euclidienne unité de $\R^{n+1}$
Dans $\R^2$, on pose $N_1=(0,1)$ et $\phi_1(x_1,x_2)=\frac{x_1}{1-x_2}$.

Montrer que $\phi_1: S^1-N_1\to\R$ est continue
Décrire $\phi_1$ par un dessin (on me donne comme indication de considérer dans $\R^2$ l'intersection des deux points $N_1$ et $(x_1,x_2)\in S^1-N_1$ avec $x_2=0$)
Montrer que $\phi_1$ est une bijection qui est un homéomorphisme.

Donc pour la continuité, $\phi_1$ est continue comme quotient de deux fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas, car on exclus de l'ensemble de définition le point $(0,1)$.
Pour le dessin je ne vois pas trop. Je place le point $N_1$ dans $\R^2$; puis $S^1-N_1$ il me semble que c'est le cercle trigonométrique (de centre $O$ et de rayon $r=1$) donc privé du point $N_1$. Je prend un point $(x_1,x_2)$ sur ce cercle. Mais je vois pas comment poursuivre.
Pour la dernière question, je dois montrer qu'il existe une application $f$ de $\R\to\R^2$ telle que $\phi_1(f(t))=t$ ?
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Publicité

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 15:40

Pour le graphe, essaye avec certaines valeurs pour regarder ce que ça donne.
Il y a aussi des logiciels pour visualiser les graphes des fonctions en 3D.

Pour la dernière question, il faut donner l'application réciproque.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 15:56

Avec certains points ?
par exemple $(1,0)$ on a $1^2+0^2=1$ donc sur le cercle
et $\phi(1,0)=1$ : comment representer ceci ?

Je sais placer le point $(1,0)$ mais 1 ??
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 16:24

Non !

Tu dois dessiner en dimension 3 ( la fonction va de $\R^2$ dans $\R$ ).

L'image de $(1;0)$ est $1$, donc tu dois placer le point de coordonnées $(1;0;1)$.
L'image de $(0,5;0,5)$ est $1$, donc tu dois placer le point de coordonnées $(0,5;0,5;1)$.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 16:32

Mais $(0,5 ; 0,5)$ n'appartient pas à $S^1-N_1$ non ?
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 16:43

:laughing:

Oui, je suis allé trop vite dans mon exemple.
C'est bien, t'es attentif !
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 17:04

lol,

bref je vois pas trop en 3D !
Donc j'essaye de faire comme avec l'indication donnée :
Image

je ne vois pas la droite d'équation $x_2=0$
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 17:19

je ne vois pas la droite d'équation x_2=0


Fonction affine, cours de 3e, tu devrais savoir ce qu'est la droite d'équation $y=0$.
De plus l'indication de ton premier post n'est pas très compréhensible, et enfin, je ne vois pas ce quel est l'objectif du dessin ci-dessus, vu que cela se passe en 3D.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 17:25

Image

c'est l'indication de l'exercice !
(considérer dans $\R^2$ l'intersection de la droite passant par $N_1$ et $(x_1,x_2)\in S^1-N_1$ avec $x_2=0$)
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 17:31

Ok.

Ta droite $x_2=0$ est horriblement mal placée, ou alors je ne comprends pas ton dessin...
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 17:33

C'est fait sous paint à la main !
Je vois pas la description de $\phi_1$ avec ceci en revanche.
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 18:39

Que ce soit fait avec paint ou photoshop ne change pas le fait que la droite est loin d'être à la bonne place.
Dans $\R^3$, l'équation $x_2=0$ définit un plan.

Ensuite, pour la 3e fois, tu ne pourras sûrement pas y voir le graphe de $\phi_1$ puisque le graphe est un sous-ensemble de $\R^3$ et pas de $\R^2$.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 18:56

Mais pourquoi y'a t il une indication concernant $\R^2$ et non $\R^3$ ??
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 18:58

Parce que l'espace de départ est $\R^2$.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:02

et pourquoi alors la droite est mal placé ?
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:13

Fonction affine, cours de 3e, tu devrais savoir ce qu'est la droite d'équation y=0.


Peux-tu me rappeler quelle droite représente $y=0$ dans un plan ?
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:15

dans $\R^2$ c'est $(Ox)$ non ?
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:17

Oui, ou l'axe des abscisses.

Au lieu d'écrire $x$ et $y$, on peut noter pour les coordonnées, $x_1$ et $x_2$.

Ben regarde ton dessin, et trouve ton erreur.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Kazik » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:28

$x_2=0$ c'est $(Ox)$ en faite ?
Kazik
Giga-utilisateur
 
Messages: 916
Inscription: Jeudi 29 Septembre 2005, 15:39
Statut actuel: Post-bac | Préparation Capès ou IUFM

Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 19:47

Je dirais plutôt $(Ox_1)$, mais oui, donc tu devrais comprendre ma réaction ;)
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 4 invités