sous-suite de rationnels bornée

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sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Samedi 31 Octobre 2015, 12:19

Bonjour,

Soit $\frac{p_n}{q_n}$ une suite de rationnels convergente.
Montrer que s'il existe une suite extraite de $q_n$ bornée, alors on peut affirmer que $q_n$ est elle-même bornée.

(question tirée d'un exercice de "toute l'analyse pour la licence" de j.p Escofier).

Sa correction est très elliptique et je ne la comprends pas.

Merci pour votre aide.

Céline
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar OG » Dimanche 01 Novembre 2015, 00:07

Bonsoir

Quel est l'énoncé exact de l'exercice ? Là c'est un peu flou (et sans info supplémentaire et sauf erreur de ma part
il n'y a pas de raison que la suite entière $q_n$ soit bornée).

En général, l'exo classique consiste à montrer que si $p_n/q_n$ converge vers un irrationnel alors $|p_n|$ et $|q_n|$ convergent vers l'infini.

O.G.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 11:36

1) Montrer que si une suite à termes positifs ne tend pas vers l'infini on peut en extraire une suite bornée.

Ca c'est fait.

2) Soit $\frac{p_n}{q_n}$ à termes positifs convergeant vers un irrationnel x>0.
On veut montrer qu'alors $q_n$ tend vers $+\infty$.
On raisonne par l'absurde en supposant que $q_n$ ne tend pas vers $+\infty$.
Montrer qu'alors $q_n$ est forcément bornée.

D'après 1) on peut extraire de $q_n$ une suite bornée, mais je n'arrive pas à montrer qu'alors $q_n$ est elle-même bornée.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar balf » Dimanche 01 Novembre 2015, 12:33

Ce n'est pas tout à fait ça: si la suite d'entiers $q_n$ (qu'on peut supposer positifs) ne tend pas vers $\infty$, c'est qu'il y a une sous-suite $(q_{n_{\scriptstyle k}})$ qui est bornée.

D'autre part, puisque $\Bigl(\dfrac{p_n}{q_n}\Bigr)$ converge vers $x$, la sous-suite $\Bigl(\dfrac{p_{n_{\scriptstyle k}}}{q_{n_{\scriptstyle k}}}\Bigr)$ en fait autant, de sorte qu'elle est bornée. Que peut-on dire de la suite $(p_{n_{\scriptstyle k}})$ ?

B.A.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 13:06

Si $(\dfrac{p_{n_k}}{q_{n_k}})$ et $(q_{n_k})$ sont bornées alors $(p_{n_k})$ l'est aussi.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar balf » Dimanche 01 Novembre 2015, 14:03

Mais $\Bigl(\dfrac{p_{n_{\scriptstyle k}}}{q_{n_{\scriptstyle k}}}\Bigr)$ est aussi bornée si la suite converge. Donc il n'y a qu'un nombre fini de tels termes.

B.A.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 15:36

Non, vraiment je ne vois pas...
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar balf » Dimanche 01 Novembre 2015, 15:48

Si $p_{n_{\scriptstyle k}}$ et $q_{n_{\scriptstyle k}}$ sont bornés, il n'y a bien qu'un nombre fini de possibilités pour chacun d'eux, puisque ce sont des entiers, et a fortiori un nombre fini de possibilités pour leur quotient. N'est-ce pas clair ?

B.A.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 16:03

Oui, je le comprends pour les suites extraites, mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi cela s'étend à la suite $(q_n)$
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar balf » Dimanche 01 Novembre 2015, 18:13

Oubliez l'indication. Si la suite extraite ne comporte qu'un nombre fini de termes, et converge vers $x$, que peut-on en conclure ?

B.A.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 19:50

On peut en conclure qu'à partir d'un certain rang les termes sont égaux à $x$ ce qui est absurde puisque $x$ est irrationnel.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar balf » Dimanche 01 Novembre 2015, 20:09

Exactement. C'était bien ça le but ?

B.A.
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Re: sous-suite de rationnels bornée

Messagepar alekhine » Dimanche 01 Novembre 2015, 20:13

Oui merci beaucoup.
Du coup la correction du bouquin est un peu étrange car il en conclut que $q_n$ est bornée, ce qui n'est pas nécessairement le cas.
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