Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

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Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Dimanche 15 Septembre 2013, 09:43

Bonjour.
J'ai quelques questions d'algèbre sur des passages mal compris.
Merci de m'éclairer.
exercice : écrire une condition nécessaire et suffisante pour que la réunion de deux sous-groupes soit un sous groupe.

Cette réunion contient l’élément neutre, pour que ce soit un sous-groupe. Il faut et il suffit qu'elle soit stable par la loi de composition interne. i.e. $\forall x_1,x_2\in H_1\cup H_2, x_1\star x_2\in H_1\cup H_2$ ?
exemples de sous-groupes de $G$ engendré par une partie $X$ ($<X>$) :
1) $\Z=<1>$ est un groupe cyclique.
2) Si $n\in\N,Z/n\Z=<cl(1)>$ est un groupe cyclique.

Je ne comprends pas ce que que sont ces groupes. Quels sont leurs éléments et leur loi de composition interne.
proposition : Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors les classes à gauche (resp. les classes à droite) ont toutes le même cardinal, qui est le cardinal de $H$.

démonstration : soit $g\in G$, alors l’application $\varphi:H\to gH$ définie par $\varphi(h)=gh$ est une bijection de $H$ sur $gH$. ces deux ensemble ont donc même cardinal.

Corollaire : théorème de Lagrange.
Si $G$ est un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$, alors l'ordre de $H$ divise l'ordre de $G$.

démonstration : $|G|=|H|.card(G/H)$

La classe à gauche c'est $gH=\{ gh | h ∈ H \}$.
La proposition veut dire que $card(gH)=card(H)$ ?
Pour la démonstration du th. de Lagrange. Comme $H$ a le même cardinal que ses classes, on dit que le cardinal de $G$ est le produit des classes de $H$ multiplié par le nombre de classes $G/H$. Je comprends moins que $G/H$ soit le nombre de classe.
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar cpo » Dimanche 15 Septembre 2013, 11:23

Bonjour,

À propos de ton premier exercice (union de sous-groupes) : la condition que tu proposes n’est pas très intéressante. On peut la reformuler comme suit : « l’union de deux sous-groupes est un groupe si et seulement si c’est un groupe ».

Indice : que se passe-t-il quand il y a une relation d’inclusion entre les sous-groupes (par exemple H₁ ⊂ H₂) ? et quand il n’y a pas de telle relation ?

Pour les sous-groupes engendrés par une partie : le sous-groupe de G, engendré par la partie X (de G), est le plus petit (au sens d’inclusion des ensembles) sous-groupe de G qui contient X. Comme c’est un sous-groupe de G, son élément neutre et sa loi de composition interne sont les mêmes que G.

Cette définition est justifiée par l’exercice : il n’y a pas deux sous-groupes incomparables qui contiennent tous deux X (l’un est nécessairement inclus dans l’autre).
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar balf » Dimanche 15 Septembre 2013, 12:08

Pour le premier exercice, la bonne formulation serait que la réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe, sauf si … Si vous avez déjà fait la démonstration pour la réunion de deux-sous-espaces vectoriels, c'est la même.

Deuxième question : elle est mal formulée, je pense. Tout de même, vous comprenez ce qu'est le groupe Z ?

La proposition veut bien dire cela.

G/H n''est pas le nombre de classes à gauche, mais l'ensemble de celle-ci. Quant à la demonstration, elle repose sur le fait que ces classes constituent une partition de G, et que donc le nombre d'éléments de G est la somme des cardinaux de chacune des classes.
cpo a écrit:Cette définition est justifiée par l’exercice : il n’y a pas deux sous-groupes incomparables qui contiennent tous deux X (l’un est nécessairement inclus dans l’autre).
Ceci est faux : tous les sous-groupes contiennent l'élément neutre sans pour autant qu'ils soient comparables en général.

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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar cpo » Dimanche 15 Septembre 2013, 13:51

balf a écrit: Ceci est faux


En effet. Merci. Oubliez donc la dernière phrase de mon message précédent.
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Dimanche 15 Septembre 2013, 21:15

Merci à tous les 2.
balf a écrit:Pour le premier exercice, la bonne formulation serait que la réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe, sauf si … Si vous avez déjà fait la démonstration pour la réunion de deux-sous-espaces vectoriels, c'est la même.
D'aprés vos 2 messages, je comprends que "la réunion de deux sous-groupes $H_1$ et $H_2$ n'est pas un sous-groupe, sauf si $H_1\subset H_2$, ce que j'arrive à comprendre. Pour le démontrer, c'est plus dur.
Soit $x_1\H_1$ et $x_2\in H_2$.
Si $x_1x_2\notin H_1$ et $x_1x_2\notin H_2$, $H_1\cup H_2$ n'est pas un sous groupe.
Si $x_1x_2\in H_2$, comme $x_2\in H_2, x_1\in H_2$ donc $H_1\subset H_2$.


Deuxième question : elle est mal formulée, je pense. Tout de même, vous comprenez ce qu'est le groupe Z ?

C'est le $<1>$ qui me gênait. Ceci est lié au fait que tous les sous-groupes de $\Z$ contiennent l'élément neutre?


La proposition veut bien dire cela.

G/H n''est pas le nombre de classes à gauche, mais l'ensemble de celle-ci. Quant à la demonstration, elle repose sur le fait que ces classes constituent une partition de G, et que donc le nombre d'éléments de G est la somme des cardinaux de chacune des classes.
Oui.


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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar balf » Dimanche 15 Septembre 2013, 22:09

paspythagore a écrit:D'aprés vos 2 messages, je comprends que "la réunion de deux sous-groupes $H_1$ et $H_2$ n'est pas un sous-groupe, sauf si $H_1\subset H_2$, ce que j'arrive à comprendre.

Ou l'inverse.
Soit $x_1\H_1$ et $x_2\in H_2$.
Si $x_1x_2\notin H_1$ et $x_1x_2\notin H_2$, $H_1\cup H_2$ n'est pas un sous groupe.
Si $x_1x_2\in H_2$, comme $x_2\in H_2, x_1\in H_2$ donc $H_1\subset H_2$.

Ou alors, il est impossible que x₁ x₂ appartienne à H₂. Mais il se pourrait que certains de ces produits appartiennent à H₁ et certains autres à H₂.

C'est le $<1>$ qui me gênait. Ceci est lié au fait que tous les sous-groupes de $\Z$ contiennent l'élément neutre?

Non : Z est un groupe additif, et 1 n'est pas son élément neutre. < 1 > désigne simplement le sous-groupe engendré par 1 (les multiples entiers de 1, puisqu'il s'agit de l'addition : on obtient bien tous les entiers, n'est-il pas ?).

B.A.
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Lundi 16 Septembre 2013, 20:25

balf a écrit:
paspythagore a écrit:D'aprés vos 2 messages, je comprends que "la réunion de deux sous-groupes $H_1$ et $H_2$ n'est pas un sous-groupe, sauf si $H_1\subset H_2$, ce que j'arrive à comprendre.

Ou l'inverse.
Soit $x_1\H_1$ et $x_2\in H_2$.
Si $x_1x_2\notin H_1$ et $x_1x_2\notin H_2$, $H_1\cup H_2$ n'est pas un sous groupe.
Si $x_1x_2\in H_2$, comme $x_2\in H_2, x_1\in H_2$ donc $H_1\subset H_2$.

Ou alors, il est impossible que x₁ x₂ appartienne à H₂. Mais il se pourrait que certains de ces produits appartiennent à H₁ et certains autres à H₂.
Ca ne m'arrange pas. Mais effectivement, j'ai vu qu'il y avait ce troisième cas. En faisant un dessin, j'ai l'impression que si $H_1\cap H_2$ n'est pas limité à l’élément neutre, ça pourrait marcher. Mais je n'arrive pas à le démontrer et je pense que c'est l'inverse qu'il faut démontrer.
Pour $x_1\in H_1$ et $x_2\in H_2$, si $h_1=x_1x_2\in H_1\Rightarrow x_2=h_1x_1^{-1}\in H_1$.
C'est à dire $x_2\in H_1\cap H_2$. Si ça n'est pas le cas, ça ne marche pas.


C'est le $<1>$ qui me gênait. Ceci est lié au fait que tous les sous-groupes de $\Z$ contiennent l'élément neutre?

Non : Z est un groupe additif, et 1 n'est pas son élément neutre. < 1 > désigne simplement le sous-groupe engendré par 1 (les multiples entiers de 1, puisqu'il s'agit de l'addition : on obtient bien tous les entiers, n'est-il pas ?).
Il est, il est. Je n'ai toujours pas compris comment savoir si on parle de $\Z$ groupe additif ou si on est dans un groupe multiplicatif. $\Z$ seul est nécessairement le groupe additif ?


B.A.


Je reviens sur cette démonstration :
proposition : Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors les classes à gauche (resp. les classes à droite) ont toutes le même cardinal, qui est le cardinal de $H$.

démonstration : soit $g\in G$, alors l’application $\varphi:H\to gH$ définie par $\varphi(h)=gh$ est une bijection de $H$ sur $gH$. ces deux ensemble ont donc même cardinal.

Je ne comprends pas pourquoi $\varphi$ est injective. $gh$ ne pas être obtenu en multipliant deux autres éléments de $G$ et de $H$ ?
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar balf » Lundi 16 Septembre 2013, 23:09

En changeant g et h, bien sûr. Mais ici, g est fixé : c'est la multiplication à gauche par g qui est injective. Et si elle l'est, c'est à cause que g est inversible (on est dans un groupe, que diable !). La bijection réciproque est la multiplication à gauche par g⁻¹.

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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Mardi 17 Septembre 2013, 19:17

Merci.

Et pour :
Soit $x_1\H_1$ et $x_2\in H_2$.
Si $x_1x_2\notin H_1$ et $x_1x_2\notin H_2$, $H_1\cup H_2$ n'est pas un sous groupe.
Si $x_1x_2\in H_2$, comme $x_2\in H_2, x_1\in H_2$ donc $H_1\subset H_2$.
Ou alors, il est impossible que x₁ x₂ appartienne à H₂. Mais il se pourrait que certains de ces produits appartiennent à H₁ et certains autres à H₂.

Ca ne m'arrange pas. Mais effectivement, j'ai vu qu'il y avait ce troisième cas. En faisant un dessin, j'ai l'impression que si $H_1\cap H_2$ n'est pas limité à l’élément neutre, ça pourrait marcher. Mais je n'arrive pas à le démontrer et je pense que c'est l'inverse qu'il faut démontrer :

Pour $x_1\in H_1$ et $x_2\in H_2$, si $h_1=x_1x_2\in H_1\Rightarrow x_2=h_1x_1^{-1}\in H_1$.
C'est à dire $x_2\in H_1\cap H_2$. Si ça n'est pas le cas, ça ne marche pas.
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar balf » Mardi 17 Septembre 2013, 22:29

Il faut supposer qu'aucun des deux sous-groupes ne soit contenu dans l'autre, et choisir « astucieusement » x₁ et x₂.

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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Mercredi 18 Septembre 2013, 21:16

Quelque chose comme ça, alors ?
Soient $x_1\in H_1$ et $x_2\in H_2$ tels que $x_1\notin H_2$ et $x_2\notin H_1$.
Si $g=x_1x_2\in H_1, x_2=x_1^{-1}g\in H_1$, ce qui est contraire à l'hypothèse...
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar balf » Mercredi 18 Septembre 2013, 22:06

C'est ça. Ce qui est montré en fin de compte, c'est qu'un groupe ne peut pas être la réunion de deux sous-groupes propres. Mais il y a des exemples qui montrent qu'il peut être la réunion de trois.

B.A.
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Re: Sous-groupes; sg engendrés, Lagrange

Messagepar paspythagore » Jeudi 19 Septembre 2013, 20:06

Merci.
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