sous-groupe du groupe de Klein

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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sous-groupe du groupe de Klein

Messagepar paspythagore » Dimanche 15 Décembre 2013, 12:08

Bonjour,
j'ai besoin d'une précision sur cet exercice :
Répondre par vrai ou faux et justifier.

Soit $G$ un groupe et $K$ et $H$ deux sous-groupes de $G$ tel que $H\triangleleft K$ et $K\triangleleft G$.
Alors $H\triangleleft G$.

La réponse est : FAUX.

Contre exemple.
$G=A_4$, $K$ le sous-groupe de Klein formé des bi-transpositions et de l'identité, et $H$ un sous-groupe d'indice $2$ de $K$.

Quel est le sous-groupe de $K$ d'indice 2 qui soit un sous-groupe de $A_4$ ?
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Re: sous-groupe du groupe de Klein

Messagepar balf » Dimanche 15 Décembre 2013, 21:18

Je ne comprends pas la question : un sous-groupe d'indice 2 dans K ? La réponse me paraît évidente : chacun des sous-groupes engendrés par une bi-transposition. D'autre part, K étant un sous-groupe de A$\mathsf{_4}$, tout sous-groupe de K est un sous-groupe de A$\mathsf{_4}$.

B.A.
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Re: sous-groupe du groupe de Klein

Messagepar paspythagore » Dimanche 15 Décembre 2013, 21:43

Oui OK.
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