Sous-espace vectoriel

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Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Mercredi 30 Décembre 2009, 22:38

salut :wink:
vérifier que cet ensemble est un s.e.v et déterminer sa dimension.
$E=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3;x+y-z=x+y+z=0 \right \}$
j'ai vérifié que E est un s.e.v mais je peux pas déduire sa dimension.
merci.
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Re: sous espace vectoriel

Messagepar Arnaud » Mercredi 30 Décembre 2009, 23:20

Les relations que tu as te permettent d'en déduire des choses ou des relations plus simples entre les éléments $x$, $y$ et $z$.
Essaye de les trouver.
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Re: sous espace vectoriel

Messagepar April » Mercredi 30 Décembre 2009, 23:48

Arnaud a écrit:Les relations que tu as te permettent d'en déduire des choses ou des relations plus simples entre les éléments $x$, $y$ et $z$.
Essaye de les trouver.


la seule chose que je peux déduire c'est que,
$E\subset \mathbb{R}^3$ donc $dim(E)< 3$.
et par suite la dimension de E peut être 1 ou 2,mais je peux pas conclure..
merci. :D
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Re: sous espace vectoriel

Messagepar Arnaud » Jeudi 31 Décembre 2009, 00:15

Sa dimension peut aussi être 0 ou 3, à priori.

Tu es sûr de ne pas pouvoir trouver des informations sur $x$, $y$ ou $z$ par manipulations algébriques ( comme par exemple si tu essayais de résoudre... ) à partir de $x+y-z=x+y+z=0$ ?
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Re: sous espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 14:30

Arnaud a écrit:Sa dimension peut aussi être 0 ou 3, à priori.

Tu es sûr de ne pas pouvoir trouver des informations sur $x$, $y$ ou $z$ par manipulations algébriques ( comme par exemple si tu essayais de résoudre... ) à partir de $x+y-z=x+y+z=0$ ?


$\left\{\begin{matrix} x+y-z=0\\ x+y+z=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-z=0\\ 2z=0 \end{matrix}\right.$
donc $z=0$ et $x=-y$
je peux poser $y=t$.
$\left\{\begin{matrix} x=-t\\ y=t\\ z=0 \end{matrix}\right.$
est-ce juste ?
merci.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar Arnaud » Jeudi 31 Décembre 2009, 14:56

Oui, donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme ... ce qui signifie que $E$ est de dimension ....
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar kojak » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:16

@April : tu es en lycée ou en post Bac ?
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:18

Arnaud a écrit:Oui, donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme ... ce qui signifie que $E$ est de dimension ....


..donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme $\begin{pmatrix} -t\\ t\\ 0 \end{pmatrix}$ ,$t\in \mathbb{R}$ ce qui signifie que $E$ est de dimension 1.
c'est ça ?
merci.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:24

kojak a écrit:@April : tu es en lycée ou en post Bac ?


lycée :D.
(j'ai une obsession ,je veux bien apprendre les mathématiques )
je pense que ça pourra bel et bien répondre à ta question :D.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar kojak » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:28

En terminale alors ?

car ce genre de question se traite en supérieur :wink: mais c'est bien d'être curieux :D

sinon, tu n'as pas fait la géométrie dans l'espace encore ? car si tel est le cas, ton système représente l'intersection de 2 plans, qui est, dans le cas général, une droite.
pas d'aide par MP
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar Arnaud » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:29

April a écrit:
Arnaud a écrit:Oui, donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme ... ce qui signifie que $E$ est de dimension ....


..donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme $\begin{pmatrix} -t\\ t\\ 0 \end{pmatrix}$ ,$t\in \mathbb{R}$ ce qui signifie que $E$ est de dimension 1.
c'est ça ?
merci.


Oui, c'est ça, c'est engendré par un seul vecteur.
Arnaud

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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:38

Arnaud a écrit:
April a écrit:
Arnaud a écrit:Oui, donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme ... ce qui signifie que $E$ est de dimension ....


..donc tout élément de $E$ peut s'écrire sous la forme $\begin{pmatrix} -t\\ t\\ 0 \end{pmatrix}$ ,$t\in \mathbb{R}$ ce qui signifie que $E$ est de dimension 1.
c'est ça ?
merci.


Oui, c'est ça, c'est engendré par un seul vecteur.


merci beaucoup.
:D
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:42

kojak a écrit:En terminale alors ?

car ce genre de question se traite en supérieur :wink: mais c'est bien d'être curieux :D

sinon, tu n'as pas fait la géométrie dans l'espace encore ? car si tel est le cas, ton système représente l'intersection de 2 plans, qui est, dans le cas général, une droite.


j'avais cette idée.merci :D .
une question.
l'intersection de 2 plans est-elle toujours une droite ?
(je pense pas :!: )
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar kojak » Jeudi 31 Décembre 2009, 15:46

April a écrit:une question.
l'intersection de 2 plans est-elle toujours une droite ?
Non.

quelles sont les possibilités à ton avis pour la position relative de 2 plans ? tu as du faire de la géométrie dans l'espace en seconde.

PS : tu n'as pas répondu à ma question : tu es en quelle classe ?
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 16:06

kojak a écrit:
April a écrit:une question.
l'intersection de 2 plans est-elle toujours une droite ?
Non.

quelles sont les possibilités à ton avis pour la position relative de 2 plans ? tu as du faire de la géométrie dans l'espace en seconde.



hmm,si le plan est un "objet" qui s'étend à l'infini,l'intersection de 2 plans doit forcément être une droite...
mais c'est juste moi qui dit ça :D ...
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 16:18

kojak a écrit:
April a écrit:une question.
l'intersection de 2 plans est-elle toujours une droite ?

PS : tu n'as pas répondu à ma question : tu es en quelle classe ?


en Terminal "Kojak" 8) .
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar Valvino » Jeudi 31 Décembre 2009, 16:40

L'intersection de deux plans peut être au choix vide, une droite ou un plan.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 17:42

j'ai une autre méthode.
posons $F=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3,x+y-z=0 \right \}$
On a $\left \{ 0 \right \}\subset E$ et $E\subsetneq F\subsetneq \mathbb{R}^3$
donc $dim(E)> 0$ et $dim(F)< 3$ et par suite $dim(E)< 2$
finalement $dim(E)=1$
est-ce juste :?:
merci infiniment.
Dernière édition par April le Jeudi 31 Décembre 2009, 17:53, édité 1 fois.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar François D. » Jeudi 31 Décembre 2009, 17:47

Là, je pense que tu veux aller trop vite : de manière générale, $A \subset B$ implique seulement que $\dim A \leqslant \dim B$, l'inégalité n'est pas nécessairement stricte, car l'inclusion ne l'est pas forcément non plus.

Cela dit dans ton cas, j'ai l'impression que cette voie peut mener à quelque chose (mes souvenirs étant cependant assez vagues), mais moyennant un raisonnement plus fin.
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Re: Sous-espace vectoriel

Messagepar April » Jeudi 31 Décembre 2009, 17:55

François D. a écrit:Là, je pense que tu veux aller trop vite : de manière générale, $A \subset B$ implique seulement que $\dim A \leqslant \dim B$, l'inégalité n'est pas nécessairement stricte, car l'inclusion ne l'est pas forcément non plus.

Cela dit dans ton cas, j'ai l'impression que cette voie peut mener à quelque chose (mes souvenirs étant cependant assez vagues), mais moyennant un raisonnement plus fin.


merci pour ta réponse :D ,j'ai édité ma solution.
c'est le cas d'une inclusion stricte :D .
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