[MPSI] Somme trigonométrique

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[MPSI] Somme trigonométrique

Messagepar Odward » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:32

Bonjour, ce serai pour avoir de l'aide sur un exercice de trigonométrie.

On demande de simplifier la somme : $\ds\sum_{k=1}^n {cos^k(x)cos(kx)}$ ($n \in \N^*$ et $x \in \R$).

J'ai utiliser les formules d'Euler et la formule de Moivre et j'abouti a :
$\sum$ $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{k+1}[((2cosx)exp(ix))^k + ((2cosx)exp(-ix))^k]$

Apres je ne sais plus quoi faire : j'ai essayé d'utiliser les formules du binôme de Newton mais ca ne donne rien de très concluant : je me retrouve avec $\sum$$\sum$ mais surtout avec des $\begin{pmatrix}   k \\   p   \end{pmatrix}$ ce qui n'est pas du tout encourageant pour obtenir un bonne simplification.

j'ai essayer plusieurs fois de mettre la somme in extenso pour peut etre trouver une solution mais rien...

Merci d'avance et désolé pour les (^k) et autres fastidieuses notations : c'est la premiere fois que j'utilise latex

[Edit Arnaud : modification du code]
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:35

Le premier terme de ta somme correspond à une "dérivée" :
$1+x+\dots+x^n = \dots$
donc :
$1+2x+3x+\dots+n x^{n-1} = \dots$
A toi de jouer.
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Messagepar Odward » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:57

guiguiche a écrit:Le premier terme de ta somme correspond à une "dérivée" :
$1+x+\dots+x^n = \dots$
donc :
$1+2x+3x+\dots+n x^{n-1} = \dots$


Je ne comprend pas très bien le rapport entre $cos^k(x)$ et la $\sum x^k$ ... enfin a part le faite que $x^k\dots$ et $cos^k(x)\dots$ sont tous les deux a la puissance $^k\dots$

Le probleme c'est que l'énoncé me demande de simplifier $\sum cos^k(x) cos(kx)\dots$
or la somme d'un produit de deux termes n'est pas le produit de deux sommes
$\sum cos^k(x) cos(kx) \ne \sum cos^k(x) \sum cos(kx)\dots$

je sais ... :roll: ... vous vous demandez qu'est-ce que je fais en MPSI :? :P

merci encore
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Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:04

Je ne me demande rien du tout. Du reste, l'exercice n'est pas trivial.
Par contre, je me suis peut-être mal exprimé mais mon indication portait sur le résultat de ton calcul : 1/2^(k+1)[((2cosx)exp(ix))^k + ((2cosx)exp(-ix))^k].

Je me rends compte (suite à mon copier/coller sur ta formule) que je crois avoir mal lu ta formule (ahhh sans LaTeX) et c'est peut-être plus simple que je ne croyais : tu dois avoir une somme géométrique (regroupe convenablement les facteurs).
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Messagepar Odward » Dimanche 01 Octobre 2006, 18:33

J'avais remarqué dans mes calculs la possibilité de reconnaitre une somme de termes d'une suite géométrique dans $\dfrac{1}{2}  \sum (\dfrac{1}{2}  e^i^2^x + \dfrac{1}{2}  )^k\dots$ et dans $\dfrac{1}{2}  \sum (\dfrac{1}{2}  e^-^i^2^x + \dfrac{1}{2}  )^k\dots$

Mais je pensais que je ne pouvais pas le faire vu que $x \in \R\dots$ et donc je ne sais pas si $e^x\ne1\dots$ car à ce moment la
$\sum (\dfrac{1}{2}  e^i^2^x + \dfrac{1}{2}  )^k = [(\dfrac{1}{2}  e^i^2^x + \dfrac{1}{2}  )^n - 1] / [(\dfrac{1}{2}  e^i^2^x + \dfrac{1}{2}  ) - 1]$ n'a plus aucun sens vu que le dénominateur peut s'annuler
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