[prépa] Somme et complexes

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[prépa] Somme et complexes

Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:16

bonjour, pouvez -vous m'aider à comprendre certains passages d'une ligne à l'autre svp ? merci :P

Il s'agit de calculer S = $\ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2^k}$cos(k$\prod$/3)



U = $\ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2^k}$* exp (ik$\prod$/3)
= $\dfrac{1}{2^n}$ * ( exp (i(n+1)$\prod$ /3) - ${2^n}$ * exp (i$\prod$/3) ) / (exp (i$\prod$/3) - 2)

dsl de ne pas avoir mis en tex, je n'y arrive pas j'éspère que vous comprendrez.
(1) je ne comprends pas pourquoi se servir de U va nous servir :


On remarque : exp (i$\prod$/3) - 2 = exp (i2$\prod$/3) -1
(2) Là je ne comprends pas... comment trouve-t-on ça ?

puis S = Re(U) = $\dfrac {1}{ \sqrt{3} .2^n}$sin (n$\prod$/3)
(3) là je ne vois pas non plus pourquoi on doit prendre la partie réelle ...

peut-être qu'en comprenant déjà le début j'y arriverait mieux, merci si vous pouvez m'aider.

[edit guiguiche : ne pas confondre \prod qui donne $\prod$ avec \pi qui donne $\pi$]. La lecture n'est pas immédiatement compréhensible
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:21

$S=\textrm{Re}(U)$ d'après la formule de Moivre.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:23

La partie réelle de $U$ est $S$, et il est plus facile d'addtionner une somme de puissance grâce aux sommes des termes d'une suite géométrique.

[Mince cette fois-ci c'est moi le grillé...]
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Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:33

ok pour le pi je ferai attention.
merci pour vos réponses, mais je ne comprends toujours pas, la formule de Moivre que j'ai c'est $\cos(\theta)+i\sin(\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$comment la mettre en rapport avec mon exo ?


dsl je ne suis pas de cours de tex, je fais comme je peux.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:41

$$e^{in\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$$



Edite ton premier message pour le rendre lisible.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:49

Où en est-tu hec ?
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Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 15:58

j'ai compris pour la formule de Moivre, merci je n'arrivais pas à voir ça.
Par contre je ne comprends toujours pas mon point (2) :?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:01

hec a écrit:Par contre je ne comprends toujours pas mon point (2) :?

Les égalités sont fausses ou bien sont fort mal écrites.
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Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:04

effectivement, j'ai rectifié. Mais je ne comprends toujours pas. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer svp ? je vous assure que j'ai cherché ce n'est pas dans mon habitude de regarder les réponses avant d'avoir cherché mais là je ne comprends vraiment pas.
Dernière édition par hec le Dimanche 12 Novembre 2006, 16:11, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:10

hec a écrit:effectivement, j'ai rectifié.

Donc c'est bon ? (sinon, forme algébrique)
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Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:19

Non, je ne comprends pas à quoi

exp (i$\pi$/3) - 2 = exp (i2$\pi$/3) -1

nous sert dans $\dfrac{1}{2^n}$ * ( exp (i(n+1)$\pi$ /3) - ${2^n}$ * exp (i$\pi$/3) ) / (exp (i$\pi$/3) - 2)

ni comment on trouve exp (i$\pi$/3) - 2 = exp (i2$\pi$/3) -1

merci.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:22

hec a écrit:ni comment on trouve exp (i$\pi$/3) - 2 = exp (i2$\pi$/3) -1

Ecris ces complexes sous forme algébrique t'ai-je dit.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:23

Ecris les formes algébriques de $e^{\dfrac{i\pi}{3}}$ et de $e^{\dfrac{2i\pi}{3}}$
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Messagepar hec » Dimanche 12 Novembre 2006, 16:43

$e^{i\pi/3}-2= 1/2 + i \sqrt{3}/2 -2 = -3/2 + i\sqrt{3}$
$e^{2i\pi/3} - 1= -1/2  + i \sqrt{3}/2 -1 = -3/2 + i \sqrt{3}$

merci merci je ne sais pas comment vous viennent ces idées (si elles pouvaient aussi venir dans ma tête parfois ça m'arrangerai ... :lol: ) merci
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Messagepar guiguiche » Dimanche 12 Novembre 2006, 18:03

hec a écrit:je ne sais pas comment vous viennent ces idées (si elles pouvaient aussi venir dans ma tête parfois ça m'arrangerai ... :lol: ) merci

Par le travail et la répétition des situations, on apprend à les reconnaître au premier coup d'oeil.
Patience (et longueur de temps) petit scarabée !
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Messagepar acid24 » Mardi 14 Novembre 2006, 11:43

hec a écrit:$e^{i\pi/3}-2= 1/2 + i \sqrt{3}/2 -2 = -3/2 + i\sqrt{3}$
$e^{2i\pi/3} - 1= -1/2  + i \sqrt{3}/2 -1 = -3/2 + i \sqrt{3}$

merci merci je ne sais pas comment vous viennent ces idées (si elles pouvaient aussi venir dans ma tête parfois ça m'arrangerai ... :lol: ) merci


bien que cela ne remplace pas l'écriture algebrique , je le retrouve "graphiquement" sur le cercle trigonometrique en retirant le "vecteur" 1 au "vecteur" $e^{i\pi/3}$ : $e^{i\pi/3}-1=e^{2i\pi/3}$ (cela fait un petit triangle equilateral.)

je prefere dire cela que "je suis un gourou des maths, je reconnais aisement les 100 première décimales de $\pi$ en un coup d'oeil " ;) (ok je suis provocateur sur ce coup :twisted: )
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