Somme des termes uniquement positifs avec bornes variables

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Somme des termes uniquement positifs avec bornes variables

Messagepar Laoss » Lundi 22 Juillet 2013, 10:33

Bonjour tout le monde!

Voilà je cherche à calculer une somme à "bornes variables", allant de 5 en 5, et en ne gardant que les termes positifs de la somme suivante :

ΣT=Σi,j P*R*(1-i*j)
Avec i=]100-2x ; 100+2x] x,y étant des réels >0
j=]100-2y ; 100+y] i et j doivent être des multiples de 5 (on arrondi au multiple de 5)

Ce sera peut-être plus clair sous forme de matrice :
..i 0 5 10 [...] 150
j
0 T(0,0)..........T(0,150)
5 .....................
10 ...................
[...] .................
200 T(200,0)...T(200,150)

Matrice sur laquelle on ne somme que les valeurs de T positives et les valeurs de T pour lesquelles i et j sont dans leur intervalle respectif
Ex : si x=10 et y=11, alors i=[85;120] (85 et non 80 car intervalle semi ouvert) et j=[80,110] le tout modulo 5

Voici ce que j'ai fais :
Σ(T>0)=Σi,j P*R*(1-i*j)
=P*R*(Σ[i,j] 1 - Σi*Σj)
Or Σ[i,j] 1 =nb termes en i * nb de termes en j
nb de termes en i=E[((100+2x)-(100-2x)+1)/5]=E[(4x+1)/5] avec E(x):fonction valeur entière
nb de termes en j=E[(3y+1)/5]

Donc Σ(T>0)=P*R*(E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5] - Σi*Σj)
Or Σi=nb de termes* (dernier+1er)/2 (suite arithmétique)
Σi=E[(4x+1)/5]*(100+2x+100-2x)/2=E[(4x+1)/5]*100
De même Σj=E[(3y+1)/5]*(100-(1/2)y)

Σ(T>0)=P*R*E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5]*[1-100*(100-(1/2)y)]
=P*R*E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5]*[50y-9999]

Problème : - l'utilisation de la fonction valeur entière me paraît un peu trop complexe à manier ensuite, n'y aurait-il pas autre chose à faire?
- ici j'ai aussi compter les termes négatifs alors que je ne voulais que les positifs, comment faire? Passer par les complexes ? :?:

Merci de votre aide :wink:
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar guiguiche » Lundi 22 Juillet 2013, 11:58

Bonjour

Ton message est difficile à comprendre puisque tu n'utilises pas latex :(
Par ailleurs, cherches-tu un algorithme, un programme (en quel langage) ou un calcul explicite ?
Je n'ai pas bien compris sur T[i,j]=P*R*(1-i*j) ou non.
Le facteur 1-i*j me semble toujours négatif dès lors que i et j sont de même signe.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar Laoss » Lundi 22 Juillet 2013, 15:39

Je cherche bien un calcul explicite, un résultat qui serait fonction de x et y
Et en effet tu as raison je me suis trompé j'ai oublié de diviser par 100 i et j car ce sont en réalité des pourcentages...

Je cherche à calculer la somme suivante :

$$\ds\sum_{i=100-2x}^{100+2x}  \ds\sum_{j=100-2y}^{100+y}  \ P\times \ R \times \left (1-\frac{i}{100} \times\frac{j}{100}\right) $$


Avec P et R constantes
Avec x et y des réels positifs

Mais deux conditions sont imposées :
- ne doit être sommé que les termes positifs, ce qui équivaut donc aux combinaisons $i\times j$ pour lesquelles $i\times j$<10 000 mais je ne sais pas comment inclure cette conditions dans le calcul
- i et j doivent être des multiples de 5 donc on les arrondis aux multiples de 5 le plus proche
ex:si x=11, alors l'intervalle de i devient : i=[80;120]

PS : c'est vrai qu'avec latex ça change la vie! :D
Dernière édition par guiguiche le Lundi 22 Juillet 2013, 20:17, édité 1 fois.
Raison: permutation de ) et \right
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar guiguiche » Lundi 22 Juillet 2013, 20:20

Et si x et y sont supérieurs à 60 (par exemple), a-t-on le droit de choisir i et j négatifs ?
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar guiguiche » Lundi 22 Juillet 2013, 20:28

Je commencerais par écrire ta somme sous la forme (on omet P et R qui n'ont pas d'incidence ici):

$$\ds \sum_{i\in\left[20-\frac25x,20+\frac25x\right]\cap\Z}\left[\sum_{j\in\left[20-\frac25y,20+\frac25y\right]\cap\Z}\max\left\{0,\left(1-\frac{i}{20}\cdot\frac{j}{20}\right)\right\}\right]$$


Le calcul sera plus simple dans le cas où i et j sont positifs.
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar Laoss » Mardi 23 Juillet 2013, 11:58

Oui c'est sûr que ce serait le plus simple pour moi mais je ne sais pas manipuler la fonction "max" (mis à part en utilisant l'informatique), c'est possible à la main? (je suppose que c'est une question idiote :oops: )
Du coup pour introduire le fait qu'on ne descendait pas en dessous de 0 et sans utiliser la fonction max, j'avais modifié les bornes de j en le majorant grâce à cette relation :
$\ds \sum_{i\in\left[20-\frac25x,20+\frac25x\right]\cap\Z}\sum_{j\in\left[20-\frac25y,20+\frac25y\right]\cap\Z}\left(1-\frac{i}{20}\cdot\frac{j}{20}\right)>0$ équivaut à $ij<400$ équivaut à $j<\frac{400}{i}$
La somme devient donc $\ds \sum_{i\in\left[20-\frac25x,20+\frac25x\right]\cap\Z}\sum_{j\in\left[20-\frac25y,400/i\right]\cap\Z}\left(1-\frac{i}{20}\cdot\frac{j}{20}\right)$

Mais du coup en éclatant la somme je me retrouve avec des $\ds \sum_i\frac{1}{i}$ irrésolvable à part en remplaçant par des équivalents en $ln$...

Pour revenir sur le signe de i et j, disons pour faire simple que i et j ne peuvent pas être négatifs et que par conséquent x et y ne peuvent pas dépasser 50 (en fait c'est un modèle inspiré de la réalité, réalité dans laquelle x et y ne peuvent pas dépasser les 50 environ, sachant que le but final est de calculer l'incertitude sur cette somme afin de mesurer la précision de ma formule, formule que je dois d'abord simplifier avant d'en calculer l'incertitude avec des différentielles)

Merci
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Re: Somme des termes uniquement positifs avec bornes variabl

Messagepar guiguiche » Jeudi 08 Août 2013, 14:21

Je viens de faire quelques calculs dans un cas "simple" : 20-2x/5 n'est pas entier mais est positif (idem avec y).
J'obtiens un résultat un peu trop pénible à écrire ici dont l'ordre de grandeur me semble être : 8xy/25
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