Simplification de sommes (trigo, complexes)

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Simplification de sommes (trigo, complexes)

Messagepar celia » Vendredi 25 Août 2006, 22:48

Bonjour, je bloque pour cet exercice où il faut simplifier des sommes:
pour cette question, voilà ce que j'ai fait mais je ne suis pas très sûre de moi:

Image

Pour les deux questions suivantes, je suis bloquée:

$\ds\sum_{k=0}^{n} {sin^2(a+kb)}$ : A cause du carré, je ne vois pas comment simplifier ...

$\ds\sum_{k=0}^{n} { \dfrac{cos(ka)}{cos^k(a)} }$ : Je ne vois pas du tout comment m'y prendre

Merci d'avance pour votre aide
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Messagepar mnicolas » Samedi 26 Août 2006, 08:53

Pour le premeir remplacer $-2i$ par $-2e^{i \pi /2}$ on évite alors les pairs et impairs.
Pour le second on linéarise formule $sin^2u=\frac 1 2 ( 1 - cos(2u))$ et on revient à des calculs comme avant
Pour le troisième on prend $Re( \frac{e^{ia}}{cos(a)})^k$ qui ramène à une somme géométrique.
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Messagepar celia » Samedi 26 Août 2006, 10:01

Merci beaucoup pour votre aide, pour la première question, j'ai remplacé -i par exp(-pi/2), je n'ai plus à séparer les cas n pair et n impair , je trouve:

[center]$cos(b+na/2-n \pi/2)2^n(sin a/2)^n$[/center]

Pour la deuxième question, voilà ce que j'ai fait. Mais pour la troisième je bloque à la fin:

Image

Merci encore
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Messagepar mnicolas » Samedi 26 Août 2006, 10:23

Le 4) se termine mal : ne pas tenir compte de la dernière ligne,il n'y a plus de sigma . Revenir à l'avant dernière , mais il faut remarquer que $cos(\alpha) - e^{i \alpha} = -isin(\alpha)$ ce qui simplifie le calcul final.
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