[MPSI] Séries Numériques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[MPSI] Séries Numériques

Messagepar the64w » Mardi 19 Septembre 2006, 21:41

me voila encore une fois coincé

il s'agit d'etudier la convergence du série numérique de term general :


$U_n = sin \left(\dfrac{\sqrt{n} }{1+(-1)^{n}\times n^{\alpha}} \right)$

Pour $\alpha < 3/2 $ pas de problem.
Pour l'autre cas j'ai essaié ce DL :

$$U_n = sin \left(\dfrac{\sqrt{n} }{1+(-1)^{n}\times n^{\alpha}} \right) = \dfrac{\sqrt{n}}{1+(-1)^{n}\times n^{\alpha}} + o \left(\dfrac{1}{n^{ \alpha - 1/2}}\right)$$



je continue le DL mais tout les termes interessant seront absorbé par ce o.
Je pense a developer a un ordre superieur mais ca sera une casse téte et je crois pas que ca va marcher
Dernière édition par the64w le Mardi 19 Septembre 2006, 22:41, édité 2 fois.
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Publicité

Messagepar guiguiche » Mardi 19 Septembre 2006, 21:46

Après moins de trois semaines de cours en MPSI, déjà des DL et des séries ? Mazette !!!

Pour $\alpha>3/2$, on doit avoir la convergence absolue par équivalence avec une série de Riemann.
Pour $\alpha=3/2$, on "retrouve" la série régulièrement alternée par équivalence mais on ne peut conclure comme cela.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8073
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 22:12

guiguiche a écrit:Après moins de trois semaines de cours en MPSI, déjà des DL et des séries ? Mazette !!!


Clairement !

the64w,

Peux-tu préciser tes calculs ? J'avoue qu'ils me convainquent pas beaucoup...
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Mardi 19 Septembre 2006, 22:30

j'ai developé le Sin à l'ordre 1 dans le but de trouver un equivalent de $U_n$ , mais le problem c'est que si on s arrete la on va rien trouver d'interessant, mém pour l'ordre trois
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 22:37

Le DL de ton sin me paraît faux.

Il faut écrire : $\sin(u) = u + o(u)$ (ou mieux $u + o(u^2)$ si nécessaire) et remplacer u par un terme qui tend vers 0. Donc soit l'expression présente dans le $\sin$ soit son DL après avoir pris soin de t'être placé dans le cadre où cette expression tend vers 0.

En clair, je suis surpris que ton DL ne fasse pas apparaître de $\alpha$ dans ton petit o.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Mardi 19 Septembre 2006, 22:42

je viens juste de le corriger,c'est ma premiére foi avec LaTex ,alors veuillez m'execuser
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 22:47

Initions un premier calcul (avec $\alpha > \frac{1}{2}$) :

$$\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^{\alpha}} = (-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^{\alpha}}(1 + o(1))$$



On trouve alors :

$$sin(\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^{\alpha}}) = (-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^{\alpha}}(1 + o(1)) 
  + o((-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^{\alpha}}(1 + o(1))) $$



Et donc

$$sin(\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^{\alpha}}) \sim (-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^{\alpha}}$$



Ce qui signifie que pour $\alpha > 3/2$, la série est absolument convergente donc convergente.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 22:48

the64w a écrit:je viens juste de le corriger,c'est ma premiére foi avec LaTex ,alors veuillez m'execuser


Ok, ca me parait mieux.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 23:01

kilébo a écrit:Ce qui signifie que pour $\alpha > 3/2$, la série est absolument convergente donc convergente.


Pour le cas $1/2 < \alpha \leq 3/2$, on ne peut conclure car le terme général n'est pas de signe constant (attention erreur courante !).

Dans ce cas, il faut allez plus loin dans le DL et écrire :

$$\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^\alpha}=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}\left(\frac{1}{1+(-1)^n.n^{-\alpha}}\right)=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}(1-(-1)^n.n^{-\alpha}+o(n^{-\alpha}))$$



Puis

$$sin(\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^\alpha})=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}(1-(-1)^n.n^{-\alpha}+o(n^{-\alpha}))+o([(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}(1-(-1)^n.n^{-\alpha}+o(n^{-\alpha}))]^2)$$



i.e.

$$sin(\frac{\sqrt{n}}{1+(-1)^n.n^\alpha})=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}(1-(-1)^n.n^{-\alpha}+o(n^{-\alpha}))+o(\frac{n}{n^{2\alpha}})=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n^\alpha}+o(\frac{n}{n^{2\alpha}})$$



Attention ! J'avais effectivement laissé une erreur !

On arrive alors à conclure que la série est une somme d'une série convergente (alternée) avec une série absolument convergente si $2\alpha - 1 > 1$ i.e. si $\alpha > 1$.

Pour conclure entre $1/2 < \alpha < 1$, il faut encore affiner les calculs...
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Re: [MPSI] Séries Numériques

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 23:24

the64w a écrit:Pour $\alpha < 3/2 $ pas de problem.


Puis-je savoir comment tu as fait ? Car franchement ou je suis parti dans les choux ou alors tu as été un peu rapide.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Re: [MPSI] Séries Numériques

Messagepar guiguiche » Mercredi 20 Septembre 2006, 06:32

kilébo a écrit:
the64w a écrit:Pour $\alpha < 3/2 $ pas de problem.


Puis-je savoir comment tu as fait ? Car franchement ou je suis parti dans les choux ou alors tu as été un peu rapide.

Peut-être, une erreur de frappe entre < et >.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8073
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: DotBot [Crawler], Yandex [Bot] et 3 invités