[MPSI] Séries Numériques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[MPSI] Séries Numériques

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 22:21

j'ai cet exercise pour demain et je serais tres reconnaissant si vous m'aidez a le resoudre.

Enoncé :

Soit $(U_n)$ une suite a termes strictement positifs

1. on suppose qu'il existe $a  \in \R$ et une suite $(\beta_n)$ telle que :

$$\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = 1 - \dfrac{a}{n}+\dfrac{\beta_n}{n}$$



avec $\beta_n = O(\dfrac{1}{n})$.

montrer qu'il existe un reél $K>0$ tel que $U_n \sim K\times n^{-a}$.

Indice : on pourra étudier la serie $\ds\sum B_{n+1} - B_n$ avec $B_n=ln(n^a U_n)$.
Dernière édition par the64w le Lundi 18 Septembre 2006, 23:05, édité 4 fois.
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Publicité

Messagepar kilébo » Lundi 18 Septembre 2006, 22:30

Es-tu certain de ton énnoncé ? Notamment de ta définition de $\beta_n$ et du signe devant $\frac{a}{n}$.

Je te pose la question sans avoir fait encore le calcul mais je veux juste m'en assurer.

Sinon, le principe consiste à faire un DL et d'utiliser les résultats sur les séries à termes positifs.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 22:38

il y avait une erreur a ce niveau la ,mais j ai corrigé l enoncé meintenant,votre aide sera beacoup apprecié
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Lundi 18 Septembre 2006, 22:48

Je te propose plutôt que nous fassions les calculs ensemble (mais rapidement car dodo pour moi à minuit).

Que fait $B_{n+1} - B_n$ ?
Reconnais-tu une série télescopique ?
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 22:55

surement, j ai deja accomplie la premiere phase mais rest coincé a la fin
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Lundi 18 Septembre 2006, 22:56

Je n'ai pas compris. Tu as réussi à faire le DL ou pas ?

Ensuite, sais-tu retrouver l'équivalent de ta série ?
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 22:58

pas encore, je voulais dire que j bien eu l idée de faire un DL, mais je savais pas ou ca va etre fait
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 23:00

et desolé pour le derangement, on a un decalage de 2 heures, j y pas fait attention
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar MB » Lundi 18 Septembre 2006, 23:01

Tu peux éditer ta formule avec le $K$ ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kilébo » Lundi 18 Septembre 2006, 23:05

MB,

Il me semble que tu as introduit une erreur quand tu as édité : dans la série, cela doit être $B_n$ et non $\beta_n$. Enfin me semble-t-il.

Sinon the64w, il faut que tu fasses le DL de

$$B_{n+1} - B_n = ln \left[ (1 + \frac{1}{n})^{a} (1 - \frac{a}{n} + \frac{\beta_n}{n})\right]$$



Ensuite, il faut utiliser les résultats sur les séries de termes positifs pour obtenir le DL de ta série.

Et à partir de là tu peux revenir aux équivalents.

Le calcul n'est pas trivial et inhabituel car il utilise la notation en O et non en o. Il faut donc faire attention.

Je n'ai pas fait le calcul car la fatigue aidant je m'y perds mais cela devrait ne pas être trop difficile si tu es plus en forme que moi.

Je te souhaite bon courage et bonne nuit (désolé je travaille demain).
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar MB » Lundi 18 Septembre 2006, 23:06

kilébo a écrit:Il me semble que tu as introduit une erreur quand tu as édité : dans la série, cela doit être $B_n$ et non $\beta_n$.


Oui, j'avais rectifié. :wink:
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 23:07

merci de meme et bonne nuit
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Lundi 18 Septembre 2006, 23:08

MB a écrit:
kilébo a écrit:Il me semble que tu as introduit une erreur quand tu as édité : dans la série, cela doit être $B_n$ et non $\beta_n$.


Oui, j'avais rectifié. :wink:


Peut-être un jour aurai-je les droits d'édition... ;-)
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar the64w » Lundi 18 Septembre 2006, 23:09

MB , puis je solliticiter ton aide a ce calcul de DL ?
the64w
Déca-utilisateur
 
Messages: 11
Inscription: Lundi 18 Septembre 2006, 20:26

Messagepar kilébo » Mardi 19 Septembre 2006, 06:48

$$B_{n+1} - B_n = ln \left[ (1 + \frac{1}{n})^{a} (1 - \frac{a}{n} + \frac{\beta_n}{n})\right]$$



$$B_{n+1} - B_n = ln \left[ (1 + \frac{a}{n} + O(\frac{1}{n^2})) (1 - \frac{a}{n} + O(\frac{1}{n^2}))\right]$$



$$B_{n+1} - B_n = ln \left[1 + O(\frac{1}{n^2}) \right]$$



$$B_{n+1} - B_n = O(\frac{1}{n^2})$$



Comme $\displaystyle \sum{\frac{1}{n^2}}$ converge alors, simplement (plus simplement que ce que j'avais imaginé avant mes calculs), $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{(B_{k+1}-B_k)} = B_n - B_1$ converge vers un réel $K_1$. Donc $\displaystyle B_n = ln(n^a U_n)$ converge vers un réel $K_2$ et finalement, par passage à l'exponentielle, $\displaystyle n^a U_n \to K $, pour un réel K, i.e.

$$U_n \sim K.n^{-a}$$



Sauf erreurs...
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar MB » Mardi 19 Septembre 2006, 08:30

the64w a écrit:MB , puis je solliticiter ton aide a ce calcul de DL ?


Désolé, je ne suis pas repassé.

kilébo a écrit:Peut-être un jour aurai-je les droits d'édition... ;-)


Oui, c'est une bonne idée. On a toujours besoin de modérateurs ! :wink:
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 2 invités