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Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar Tolbo » Mardi 16 Septembre 2008, 21:36

Bonjour,

lorsque l'on veut étudier la convergence d'une série, il y a t-il des astuces pour savoir quels techniques utiliser (critère de Cauchy, d'Alembert, Bertrand, Riemann, équivalence ...).

Par exemple pour :
$ \sum  \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} $
$ \sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}$
et encore
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}$ avec $\alpha > 2$

Qu'est-ce qui vous indique qu'elles méthode serait susceptible de fonctionner ?

Merci
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Re: Serie

Messagepar guiguiche » Mardi 16 Septembre 2008, 21:39

1 et 3 : équivalent
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Serie

Messagepar Tolbo » Mardi 16 Septembre 2008, 22:02

$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge


$\sqrt{n^2+n+1}-1 \sim \sqrt{n^2}=n$
donc
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}   \sim \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{1}{n^\alpha^-^1} \sim \dfrac{1}{n^\alpha^-^1}$ donc ça converge d'après le critère de Bertrand

Faut-il justifier chaque équivalence ?
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Re: Serie

Messagepar guiguiche » Mardi 16 Septembre 2008, 22:07

Tolbo a écrit:$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge

Les termes généraux sont équivalents.

Pour l'autre, un équivalent du terme général est $\dfrac{1}{n^{\alpha+1}}$.
On conclut avec Riemann.
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Re: Serie

Messagepar Tolbo » Mardi 16 Septembre 2008, 22:13

Oui je pensais que si les termes généraux etaient équivalent en l'infini il en serait de même pour les séries mais après réflexion je me rends bien compte que non.
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Re: Serie

Messagepar kilébo » Mercredi 17 Septembre 2008, 12:57

Tolbo a écrit:$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$


Ce genre de chose se voit à l'oeil nu ?

Moi, j'aurais branché le microscope...

Amicalement,
Vincent.
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Re: Série

Messagepar balf » Mercredi 17 Septembre 2008, 13:39

Oui (je ne sais plus quelle était la question, mieux vaut positiver... ; ah ! l'œil nu). C'est parce que $n^{1/n}$ tend vers 1, donc son carré aussi.

B.A.
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Re: Série

Messagepar kilébo » Mercredi 17 Septembre 2008, 13:49

Ah oui, tu as raison mais j'avoue que, pour moi, cela n'avait rien d'évident.

Tout comme $\dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \dfrac{1}{n} \Rightarrow \sum \dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ n'avait rien d'évident pour moi en première lecture.

Mais j'ai compris maintenant (enfin j'espère ;)) : tu parles de l'équivalence des sommes partielles sont équivalentes, car divergentes et de termes généraux équivalents.

Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Re: Série

Messagepar balf » Mercredi 17 Septembre 2008, 14:50

C'est le critère de convergence par équivalents pour les séries à termes positifs : elles convergent ou elles divergent simultanément.

B.A.
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Re: Série

Messagepar Tolbo » Mercredi 17 Septembre 2008, 18:42

Et pour le deuxième avec un DL voila ce que j'obtiens :

$\sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}=\sum \dfrac{1}{n.(n+o(n))^2}=\sum \dfrac{1}{n.(n^2+o(n))}=\sum \dfrac{1}{n^3+o(n)}$

donc ça converge
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Re: Série

Messagepar kojak » Mercredi 17 Septembre 2008, 19:18

bonjour,

Ecrire ce genre de chose est pour moi une grosse énormité :D A partir du moment où tu écris $\sum$ ça signifie pour moi que ça converge.... donc ça ne va pas du point de vue de la rédaction :!:

Il faut seulement regarder le terme général c'est à dire $\dfrac{1}{n\sin^2 n}$.

De plus es tu sûr de $\sin^2 n=n^2+o(n)$ : tu as trouvé ça où :?:
pas d'aide par MP
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Re: Série

Messagepar Tolbo » Mercredi 17 Septembre 2008, 19:49

je pensais que le $\sum $ indiquer seulement que c'était une somme.

Et pour le sinus et bien j'ai fais l'absurdité d'utiliser le DL en zéro pour m'en servir lorsque ça tend vers l'infini
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