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Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar washboard » Jeudi 15 Février 2007, 22:02

Bonjour,

comment montrer que la série de terme général
$u_n(x)=\dfrac{1}{n+x-1} + \ln(1-\dfrac{1}{n})$ $n \ge 1$ est convergente pour au moins un réel $x$, $x>0$
merci par avance

[Edit Arnaud : correction LaTeX]
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Messagepar Jean-charles » Jeudi 15 Février 2007, 23:20

Un petit DL à l'ordre 2 de $\ln(1-\dfrac{1}{n})$ devrait bien aider...
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Messagepar washboard » Vendredi 16 Février 2007, 14:49

$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?

[Edit Kojak : c'est plus joli..]
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\varepsilon
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 15:06

washboard a écrit:
d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?
si $x=1$ sinon le $\dfrac{1}{n+x-1}$, il ne faudrait pas l'oublier....
:roll:

[edir Kojak : j'ai corrigé mon post..]
Dernière édition par kojak le Vendredi 16 Février 2007, 15:13, édité 1 fois.
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Messagepar Jean-charles » Vendredi 16 Février 2007, 15:12

washboard a écrit:$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?

C'est ça à condition effectivement, de bien choisir une valeur pour $x$...
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Messagepar washboard » Vendredi 16 Février 2007, 15:56

pour $x\ge 1$ fixé , on aura $\dfrac {1}{n+x-1}$qui sera équivalent en l'infini à $\dfrac {1}{n}$
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 16:02

Oui, mais pour additionner les équivalents, encore faut il qu'il soit de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... et donc avec ta méthode tu as un équivalent de $u_n(x)$ qui est $0$... bug....
Donc il vaut mieux faire un DL à l'ordre 2 et comme ceci pas d'embrouille...
Les équivalents, c'est bien pratique, mais il faut les manier avec précaution... il faut s'en méfier comme de la peste, si on n'est pas sûr de soi....
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Messagepar Jean-charles » Vendredi 16 Février 2007, 16:10

N'oublie pas que l'on te donne juste de prouver qu'elle converge pour au moins une valeur de $x$.
N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 16:15

Jean-charles a écrit:N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?
surtout j'ai pas fait exprès mais je lui ai donné :roll:
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Messagepar washboard » Vendredi 16 Février 2007, 16:19

x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.

Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 16:23

washboard a écrit:x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.
correct..

washboard a écrit:Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
correct.. et même pour $x>0$
washboard a écrit:C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.
ici, car il faut des équivalents de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... ici la somme est nulle, d'où le bug...
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Messagepar Jean-charles » Vendredi 16 Février 2007, 16:26

Pour $x=1$:
$u_n=\dfrac{1}{n}+\ln(1-\dfrac{1}{n})$
Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
Je ne vois pas où est le problème...
Dernière édition par Jean-charles le Vendredi 16 Février 2007, 17:33, édité 1 fois.
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Messagepar washboard » Vendredi 16 Février 2007, 16:46

C'est bon , pas de problème.
merci pour ces renseignements.A bientôt.
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 17:09

Jean-charles a écrit:Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
.
A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:
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Messagepar Jean-charles » Vendredi 16 Février 2007, 17:34

kojak a écrit: A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:

Oups, c'est réparé, merci !
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Messagepar kojak » Vendredi 16 Février 2007, 17:37

Jean-charles a écrit:Oups, c'est réparé, merci !
Niakkk, Niakkkk, Niakkkk... : tu croyais qu'on le verrait pas :P
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