Série numérique

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Série numérique

Messagepar Valvino » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:12

Bonsoir à tous, je bloque comme une chèvre sur cet exo, un petit coup de main ne serait pas de refus!

On pose $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite réelle décroissante qui tend vers 0.

La première question nous demande d'exprimer

$$\ds S_n=\sum_{k=0}^n k(u_k-u_{k+1})$$


en fonction de

$$\ds U_n=\sum_{k=0}^n u_k$$


Bon déjà on voit que l'énoncé est mal foutu car $u_0$ n'est pas défini, j'ai donc pris sur moi de redéfinir $U_n$ et $S_n$ à partir de $k=1$.
Je démontre par récurrence que $S_n=U_n-nu_{n+1}$.

Ensuite la première partie consiste à montrer que si $\sum u_k$ converge alors $\sum k(u_k-u_{k+1})$ converge, ce qui ne m'a pas posé de problème.

La deuxième partie de l'exo consiste à montrer la réciproque. On suppose donc $\sum k(u_k-u_{k+1})$ convergeante. On me demande de montrer

$$\ds \sum_{k=n}^\infty k(u_k-u_{k+1}) \geq nu_n$$


Mais malgré tous mes efforts à chaque fois, soit par récurrence soit par calcul direct, je n'arrive à montrer seulement que

$$\ds \sum_{k=n}^\infty k(u_k-u_{k+1}) \geq (n-1)u_n$$


qui est un résultat plus faible.

Merci de votre aide.
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Re: Série numérique

Messagepar Arnaud » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:23

C'est peut-être le fait de commencer à $n=1$ qui créé cette différence, non ?
Je pense que l'erreur dans l'énoncé se situe au niveau de la définition de $u_n$, il faut prendre $n \ge 0$.
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Re: Série numérique

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:35

Valvino a écrit:La première question nous demande d'exprimer

$$\ds S_n=\sum_{k=0}^n k(u_k-u_{k+1})$$


en fonction de

$$\ds U_n=\sum_{k=0}^n u_k$$


Sépare la somme en deux et remarque que $k=(k+1)-1$ pour la seconde somme. Un coup de renumérotation et zou c'est pesé emballé.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Série numérique

Messagepar Arnaud » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:38

guiguiche a écrit:Sépare la somme en deux et remarque que $k=(k+1)-1$ pour la seconde somme. Un coup de renumérotation et zou c'est pesé emballé.


Valvino précise juste après que cette question ne lui a pas posé de problème :)
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Re: Série numérique

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:40

Ben, je lui propose une méthode directe sans récurrence.
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Re: Série numérique

Messagepar Arnaud » Dimanche 18 Novembre 2007, 21:50

Rien ne nous dit, à priori, que $u_n$ n'est pas équivalente à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, et donc le terme $nu_n$ pose problème.
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Re: Série numérique

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:10

Posons $a=\ds\sum_{k=0}^{+\infty}{k(u_k-u_{k+1})}$.
On sait que : $\ds\sum_{k=0}^{n}{k(u_k-u_{k+1})}=\sum_{k=0}^{n}{u_k}-nu_{n+1}\ge\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ donc $a\ge\ds\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ puisque tous les termes des sommes sont positifs.
Alors : $\ds\sum_{k=n}^{+\infty}{k(u_k-u_{k+1})}=a-\sum_{k=0}^{n-1}{k(u_k-u_{k+1})}=a-\sum_{k=0}^{n-1}{u_k}+(n-1)u_n$
Donc, en ajoutant/retranchant $u_n$, on obtient : $\ds\sum_{k=n}^{+\infty}{k(u_k-u_{k+1})}=nu_n+a-\sum_{k=0}^{n}{u_k}\ge nu_n$
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Re: Série numérique

Messagepar Valvino » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:33

:D Merci beaucoup Guiguiche et Arnaud :wink:
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Re: Série numérique

Messagepar Arnaud » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:42

guiguiche a craqué :D
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Re: Série numérique

Messagepar guiguiche » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:43

ouais, en même temps, pas simple de donner une indication pour réaliser ce calcul-ci (il y a peut-être d'autres méthodes en plus).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Série numérique

Messagepar Valvino » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:44

Quand j'aurai le corrigé je posterai l'autre méthode si elles diffèrent.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 18 Novembre 2007, 22:56

guiguiche a écrit:ouais, en même temps, pas simple de donner une indication pour réaliser ce calcul-ci (il y a peut-être d'autres méthodes en plus).


Effectivement :mrgreen:
Arnaud

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