[Ecole d'ingénieur] Série génératrice

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[Ecole d'ingénieur] Série génératrice

Messagepar ZeProne » Vendredi 21 Décembre 2007, 22:15

Bonjour, j'aurai une petite question concernant les série génératrice...

Soit une suite $U_n = U_{n-1} + 2*U_{n-2}$ (ce qui rappelle une certaine suite)

On souhaite faire apparaître dans cette suite $G(x) = \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_n * x^n$

Je pensais considérer la suite comme ca : $U_{n+2} = U_{n+1} + 2*U_{n}$

multiplier chaque partie par $x^n$, ce qui nous fait $U_{n+2} * x^n = U_{n+1} * x^n + 2*U_{n} * x^n$

faire une somme des éléments membre à membre donc : $\displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n+2} * x^n = \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n+1} * x^n + \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n} * x^n$

Et c'est la que je coince :s

Je pensais remplacer $U_{n+2}$ par $U_n$ en pensant a retirer les premiers élements (idem pour le $U_{n+1}$)

Ce qui donnerai $\displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n} * x^n - U_0 - U_1*x= \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n} * x^n -U_0+ \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n} * x^n$

On obtient alors $G(x) - U_0 -U_1*x = G(x) -U_0 + G(x) \Leftrightarrow  G(x) -U_1*x = 2*G(x) \Leftrightarrow G(x) = U_1*x$ ce qui me parait louche

j'ai un exemple comme ca : $\displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_{n+1} * x_n = \dfrac{G(x) -U_0}{x}$ pour $ U_{n+1} = 2*U_n +1$ mais je ne le comprend pas :s

Voilà j'aimerai que vous m'éclaircissiez un peu plus sur ce point (qui pourrait m'amener à une autre suite plus compliquée). Merci d'avance.
ZeProne
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Re: Ecole d'ingénieur - Serie génératrice

Messagepar guiguiche » Samedi 22 Décembre 2007, 09:12

$$U_{n+2} x^{n+2}=x\times U_{n+1}x^{n+1}+2x^2\times U_nx^n$$



Une autre possibilité serait de déterminer l'expression du terme général $U_n$ en fonction de $n$ puis en déduire l'expression de $G(x)$ en fonction de $x$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: [Ecole d'ingénieur] Série génératrice

Messagepar Pythales » Samedi 22 Décembre 2007, 13:50

Une idée en passant : écrire que $U_n+U_{n-1}=2(U_{n-1}+U_{n-2})$ et poser $V_n=U_n+U_{n-1}$
Encore faudrait-il préciser $U_0$ et $U_1$
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Re: [Ecole d'ingénieur] Série génératrice

Messagepar ZeProne » Dimanche 23 Décembre 2007, 09:31

A oui pardon j'ai oublié de préciser : $U_0 = 0 ; U_1 = 1$.

Merci pour vos idées je vais me pencher la dessus

guiguiche: En fait le but final est d'exprimer $U_n$ en fonction de n. Mais il faut le déduire de l'expression trouvée avec $G(x)$
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Re: [Ecole d'ingénieur] Série génératrice

Messagepar kojak » Dimanche 23 Décembre 2007, 10:02

bonjour,

ZeProne a écrit:On souhaite faire apparaître dans cette suite $G(x) = \displaystyle { \sum_{0}^{n}} U_n * x^n$


Ca ne serait pas plutôt $G(x)=\ds\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$ :roll:

et ensuite utiliser la relation indiquée par guiguiche :wink:
pas d'aide par MP
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Re: [Ecole d'ingénieur] Série génératrice

Messagepar ZeProne » Lundi 14 Janvier 2008, 22:53

Désolé de répondre si tardivement, j'ai était un peu absent depuis,
en tout cas merci beaucoup pour votre aide (oui kojak tu avais raison autant pour moi).
C'est cool d'avoir la réponse et en plus une correction sur la question :lol:
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