Série de terme général

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Série de terme général

Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 13:18

Bonjour,

je n'arrive pas à étudier la série de terme général :$U_n=1-(\frac{n^3-1}{n^3+1})^n$
pouvez vous m'aidez ?
Kazik
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 13:22

A vue de nez, passage à l'exponentielle et développement limité du quotient/logarithme...
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Arnaud » Vendredi 02 Mars 2007, 13:22

Tiens, ça faisait longtemps, alors ces exams ? :D
Dans l'expression entre parenthèses, factorise, et fais un dl.
Je ne sais pas si ça aboutit, mais c'est une piste.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
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Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Messagepar penec » Vendredi 02 Mars 2007, 13:24

C'est un serie à termes positifs. Essaye de faire un développement asymptotique du terme générale en commençant par factoriser par n^3 dans l'expo.
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 13:37

Oui ça faisait longtemps!
En faite mes exams ce sont très bien passés, j'ai tout validé, même l'info!!
Maintenant on repart sur un new semestre, en espérant que ca se passe pareil!

Alors factorisation :
$1-(\frac{1-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}})^n$

Je fais le dl de $(1-\frac{1}{n^3})^n$ et $(1+\frac{1}{n^3})^n$ ?
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Messagepar penec » Vendredi 02 Mars 2007, 13:39

le mieux c'est de mettre sous forme expo pour en faire le dl.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 13:42

Méfiance, méfiance lorsque la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant.
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 13:49

Ok, en passant par $e^{nln(\frac{1-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}})}=e^{n[ln(1-\frac{1}{n^3})-ln(1+\frac{1}{n^3})]$

je trouve $e^{\frac{-2}{n^2}+o(\frac{1}{n^5})}$ ?
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 13:54

C'est plutôt $o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ non ? Sinon le terme principal est correct.
Une petite remarque pour aller plus vite : $\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=1-\dfrac{2}{n^3+1}$.
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 14:03

Bien quand je fais :
$ln(1-\frac{1}{n^3})=-\frac{1}{n^3}-(-\frac{1}{n^3})^2\frac{1}{2}+o((-\frac{1}{n^3})^2)$
ça fait du $o(\frac{1}{n^6})$ non ?
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 14:11

Je m'étais arrêté à l'ordre 3 dans le développement limité.
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 14:25

guiguiche a écrit:Je m'étais arrêté à l'ordre 3 dans le développement limité.

et à l'ordre 2?
mais après le developpement limité que faut il faire ??
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 14:32

A l'ordre 3 avec le logarithme (donc à l'ordre 2 en multipliant pas n).
Tu n'as pas terminé, c'est un développement limité de $u_n$ qu'il te faut.
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 14:38

Mais ce que je comprend pas c'est que je trouve pas pareil avec ceci :
Image

$(1-\frac{2}{n^3+1})^n=1-\frac{2n}{n^3+1}+o(-\frac{2n}{n^3+1})$ non ?
avec le dl de $(1+x)^n$
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Messagepar guiguiche » Vendredi 02 Mars 2007, 14:43

Faux car l'exposant n'est pas constant puisque c'est la variable n.
[center]Toujours repasser par les exponentielles[/center]
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 16:36

ah bon!! :oops:

$e^{nln(1-\frac{2}{n^3+1})}=e^{n[(-\frac{2}{n^3+1})-(-\frac{2}{n^3+1})^2/2]}=e^{n[-\frac{2}{n^3+1}-\frac{2}{(n^3+1)^2}]}$
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Messagepar kojak » Vendredi 02 Mars 2007, 16:52

Bonjour,
t'aurais pas oublié les $o$..
ensuite, ton exposant tend vers $0$ donc il faut recomposer avec le dl de l'exponentielle.... et oui, y a du boulot... de plus atention aux différents ordres...
pas d'aide par MP
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Messagepar Kazik » Vendredi 02 Mars 2007, 19:30

dur dur la reprise :?

$e^{n[-\frac{2}{n^3+1}-\frac{2}{(n^3+1)^2}+o(\frac{4}{(n^3+1)^2})]}$

je prend le dl de exp avec $X=n[-\frac{2}{n^3+1}-\frac{2}{(n^3+1)^2}+o(\frac{4}{(n^3+1)^2})]$ ??
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Messagepar Kazik » Lundi 05 Mars 2007, 10:22

J'ai refait les calculs et je trouve :
$U_n=1-e^{(\frac{-2}{n^3}+o(\frac{1}{n^5}))}$
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Messagepar guiguiche » Lundi 05 Mars 2007, 11:19

Oui mais le développement limité n'est pas terminé.
Tu peux aussi te contenter d'un équivalent de $U_n$ pour répondre à la question posée.
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