Série de fonctions

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Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Lundi 31 Décembre 2007, 16:42

Salut,
Je sèche totalement sur un exo concernant les séries de fonctions:
Il faut que j'étudie la convergence de la série $\sum f_n $ sur la partie $X$ et déterminer les sous-ensemble de $X$ sur lesquels il y a convergence uniforme.
Soit $f_n(x)=xe^{-nx^2}$ et $X=R^+$
Je n'arrive pas à prouver la convergence simple...
Pour la convergence uniforme, j'ai essayé en passant pour la convergence normale. J'ai étudier les variations de $f_n$ pour avoir le sup... mais je trouve le terme générale d'une série divergente (en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ si mes souvenirs sont bon).
Donc j'ai essayé en revenant à la définition avec le reste d'ordre n. Je trouve $\ds R_n(x)=\frac{x}{1-e^{-x^2}}.e^{-(n+1)x^2}$
J'ai ensuite constaté que

$$\ds lim_{n\rightarrow +\infty} R_n(\frac{1}{\sqrt{n+1}}) = +\infty$$

ce qui prouve qu'il n'y a pas convergence uniforme. (mais sur quelle partie de $X$??)

Voilà je suis un peu perdu sur cet exo, j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci
Romain
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Re: Série de fonctions

Messagepar François D. » Lundi 31 Décembre 2007, 16:54

Pour la cv uniforme ... critère de d'Alembert, peut-être ?
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Re: Série de fonctions

Messagepar OG » Lundi 31 Décembre 2007, 17:29

bonjour

tu pourrais regarder déjà ce qui se passe sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.

Pour la convergence simple, un critère usuel sur le terme de la série numérique devrait suffire : par exemple quelle est la limite de $n^2 x e^{-nx^2}$ ?

bonne soirée
cordialement
O.G.
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Re: Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Mardi 01 Janvier 2008, 09:53

Ok pour la convergence simple!
Mais pour la convergence uniforme, il faut passer par la convergence normale?
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Re: Série de fonctions

Messagepar kojak » Mardi 01 Janvier 2008, 11:25

RoMaIn a écrit:Mais pour la convergence uniforme, il faut passer par la convergence normale?

Avec ce type de série de fonctions, c'est ce que je ferais, car c'est immédiat ou presque :wink:
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Re: Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Mardi 01 Janvier 2008, 12:27

Pourtant j'ai essayer, mais j'ai pas été convaincu.
Voilà comment j'ai procédé:
Soit $f_n(x)=xe^{-nx^2}$ et $a>0$
$\| f_n \|_\infty = \underset{x\in [a,+\infty[}{sup}|f_n(x)|$

J'ai donc étudié les variations de $f_n(x)$.
$f'_n(x)=e^{-nx^2}(1-2nx^2)$, puis je cherche le point où le sup est atteint $ f'_n(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0=\frac{1}{\sqrt{2n}}$

Donc $\| f_n \|_\infty = \underset{x\in [a,+\infty[}{sup}|f_n(x)|= f_n(x_0)= \frac{1}{\sqrt{2n}}e^{-\frac{1}{2}}$
Et là... c'est une série divergente, donc je suis bloqué ici!
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Re: Série de fonctions

Messagepar François D. » Mardi 01 Janvier 2008, 14:17

Bon, pour $x=0$, c'est immédiat ...

Pour $x>0$, on a $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\dfrac{x\mathrm{e}^{-(n+1)^2x}}{x\mathrm{e}^{-n^2x}}=\mathrm{e}^{-(2n+1)x}$, ou bien ? En faisant alors $n \to +\infty$, ça devrait permettre de conclure plus ou moins rapidement, quitte par exemple à majorer ça par $\mathrm{e}^{-(2n+1)a}$ sur tout intervalle du type $[a;+\infty[$, ou est-ce moi qui ai mal encaissé le réveillon ?
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Re: Série de fonctions

Messagepar kojak » Mardi 01 Janvier 2008, 14:23

Bonjour,
J'ai peut être dit une ânerie précédemment :oops:
Mais tu as directement la somme de la fonction, car tu as une suite géométrique de raison $e^{-x^2}$ qui converge ssi $x>0$ et $f(x)=\ds\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)=\dfrac{x}{1-e^{-x^2}}$ pour $x>0$ et $f(0)=0$ donc tu ne peux avoir convergence uniforme sur $[0,+\infty[$ : jusque là je ne pense pas avoir dit des âneries :roll:
Ensuite tu peux majorer $f_n(x)$ pour tout réel $x\in[a,b]$, avec $0<a\leq b$ et tu auras ta convergence normale sur tout intervalle $[a,b]$, et donc ta convergence uniforme, à moins que je ne me trompe :roll:
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Re: Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Mardi 01 Janvier 2008, 14:57

François D. a écrit:Bon, pour $x=0$, c'est immédiat ...

Pour $x>0$, on a $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\dfrac{x\mathrm{e}^{-(n+1)^2x}}{x\mathrm{e}^{-n^2x}}=\mathrm{e}^{-(2n+1)x}$, ou bien ? En faisant alors $n \to +\infty$, ça devrait permettre de conclure plus ou moins rapidement, quitte par exemple à majorer ça par $\mathrm{e}^{-(2n+1)a}$ sur tout intervalle du type $[a;+\infty[$, ou est-ce moi qui ai mal encaissé le réveillon ?


Oui je suis d'accord

kojak a écrit:Bonjour,
J'ai peut être dit une ânerie précédemment :oops:
Mais tu as directement la somme de la fonction, car tu as une suite géométrique de raison $e^{-x^2}$ qui converge ssi $x>0$ et $f(x)=\ds\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)=\dfrac{x}{1-e^{-x^2}}$ pour $x>0$ et $f(0)=0$ donc tu ne peux avoir convergence uniforme sur $[0,+\infty[$ : jusque là je ne pense pas avoir dit des âneries :roll:
Ensuite tu peux majorer $f_n(x)$ pour tout réel $x\in[a,b]$, avec $0<a\leq b$ et tu auras ta convergence normale sur tout intervalle $[a,b]$, et donc ta convergence uniforme, à moins que je ne me trompe :roll:


Il y a encore deux choses que je ne comprends pas:
- "donc tu ne peux avoir convergence uniforme sur $[0,+\infty[$" quels arguments vous permettent de conclure ainsi?
- En majorant $f_n(x)$sur un intervalle $[a,b]$ je ne vois pas comment arriver à la convergence normale.
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Re: Série de fonctions

Messagepar kojak » Mardi 01 Janvier 2008, 15:06

RoMaIn a écrit:- "donc tu ne peux avoir convergence uniforme sur $[0,+\infty[$" quels arguments vous permettent de conclure ainsi?
car si convergence uniforme, la fonction somme serait une fonction continue, ce qui n'est pas le cas en $0$ : recherche $\ds\lim_{x\to 0}f(x)$
RoMaIn a écrit:- En majorant $f_n(x)$sur un intervalle $[a,b]$ je ne vois pas comment arriver à la convergence normale.
as tu majoré $f_n$ comme indiqué :?:
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Re: Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Mardi 01 Janvier 2008, 16:53

En majorant:
$\ds f_n(x)=xe^{-nx^2}<be^{-na^2}$
Hum... je crois que j'ai trouvé...par domination (la série $\ds \sum be^{-na^2}$ est convergente et $\ds \sum f_n(x)  < \sum be^{-na^2} = \frac{b}{1- e^{-a^2}}$ ). Ceci étant valable si $a>0$ (sinon on a plus une série géométrique convergente) d'où la convergence uniforme sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$

C'est ça?
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Re: Série de fonctions

Messagepar kojak » Mardi 01 Janvier 2008, 18:20

RoMaIn a écrit:En majorant:
$\ds f_n(x)=xe^{-nx^2}<be^{-na^2}$
Oui.. mais c'est $\leq$
RoMaIn a écrit:par domination
c'est la convergence normale...
RoMaIn a écrit:d'où la convergence uniforme sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$
non sur tout intervalle du type $[a,b]$, disons, c'est ce que je dirais :roll:
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Re: Série de fonctions

Messagepar RoMaIn » Mardi 01 Janvier 2008, 18:49

oui je voulais écrire $\leq$ mais je ne connaissais pas le "code" latex... :x

Pour le reste je suis aller un peu vite... (faut avouer que je suis pas en super forme cette nuit :wink: )

Merci pour votre aide.
Romain
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