Série de fonction

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Série de fonction

Messagepar Arthur Accroc » Mercredi 26 Octobre 2011, 14:53

Bonjour.

Je souhaite démontrer que la série de fonctions $\sum\frac{x^n\sin(nx)}{n}$ est uniformément convergente sur $[-1,1]$. Pour cela, je ne vois pas mieux que de séparer en convergence normale sur $[-a,a]$ avec $0<a<1$, et convergence uniforme sur $[-1,-\epsilon]\cup[\epsilon,1]$ à l'aide d'une transformation d'Abel. J'ai deux questions :

- est-ce la seule méthode jouable ?
- pour la transformation d'Abel, on tombe sur :

$$\sum_{n=p}^q u_n(x) = \frac{x^q}{q}S_q - \frac{x^p}{p}S_{p-1} + \sum_{n=p}^{q-1} \frac{(n+1)x^n-nx^{n+1}}{n(n+1)} S_n$$


Bon, si tout va bien pour les deux termes isolés, je sais faire pour la somme, en signalant que la fraction prend son maximum en $x=1$. Par contre, en $-1$, j'ai un gros soucis, la norme du terme général étant alors non convergente...
Dans le Flory, il est dit : << Sur $[\epsilon,1]$, la convergence est uniforme, et donc "bien-sûr" en $-1$ >> !!! Je trouve ça un peu gonflé, mais il semble que la méthode soit bonne, donc j'ai sans doute loupé quelque chose !

Avez-vous des idées (surtout pour la deuxième partie) ?

D'avance merci.
\bye

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Re: Série de fonction

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 27 Octobre 2011, 15:35

Bon, il semblerait qu'en -1, on puisse s'en sortir en faisant passer le $(-1)^n$ du $x^n$ vers le $\sin nx$. Cela le transforme en $\sin n(x+\pi)$, et à l'aide de la même transformation d'Abel, on prouve la convergence uniforme non plus sur $[-1,-\epsilon]$, mais carrément sur $[-1,0]$ ! En effet, la somme $\sum_{k=1}^n \sin nt$ est facile à majorer lorsqu'on est loin des multiples entiers de $2\pi$, ce qui est bien le cas ici.

Si vous avez une méthode plus simple pour tout faire d'un coup, je suis preneur.
\bye

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Re: Série de fonction

Messagepar kojak » Vendredi 28 Octobre 2011, 12:39

Bonjour,

Je dis peut être une ânerie, mais à partir du moment où tu as la convergence uniforme sur $[0,1]$ tu l'as immédiatement sur $[-1,0]$ car la fonction est impaire.
pas d'aide par MP
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Re: Série de fonction

Messagepar Arthur Accroc » Vendredi 28 Octobre 2011, 13:13

kojak a écrit:Bonjour,

Je dis peut être une ânerie, ... car la fonction est impaire.


Je confirme, c'est bien une ânerie ! $x\mapsto x^n\sin nx$ est paire ou impaire selon la parité de $n$, non ?
\bye

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Re: Série de fonction

Messagepar kojak » Vendredi 28 Octobre 2011, 13:18

Arthur Accroc a écrit:Je confirme, c'est bien une ânerie !


Ah oui. tu as parfaitement raison. Mon neurone est en ouacances :mrgreen:
pas d'aide par MP
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