Résolution de la boule à facettes

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Résolution de la boule à facettes

Messagepar stello » Samedi 07 Octobre 2006, 14:34

J'ai découvert ce problème en essayant de créer en 3D une boule à facettes, la "disco ball".
C'est donc une sphère sur laquelle sont posés des miroirs carrés juxtaposés.

[center]Image[/center]

Le problème consiste à trouver la taille des miroirs et le rayon de la sphère qui donnent une boule à facettes parfaite, c'est-à-dire où le long de chaque anneaux de la sphère, on peut trouver un nombre entier de miroirs.

Sur le premier anneaux, l'équateur, on a :

- $R$ = rayon de la sphère de centre $O$.
- $\alpha$ = angle de rotation d'un miroir à son voisin avec pour centre $O$.
- $C$ = côté du miroir.

en traçant la normale du centre $O$ au miroir, on trouve :

$$sin(\alpha/2) = \dfrac{C}{2R}$$



Soit $X$ le nombre de miroirs le long du cercle. Ainsi :

$$\alpha \times X = 2 \pi$$



Il faut considérer l'anneau supérieur de rayon $R_1$. On a alors :

[center]$R_1 = R \times cos(\alpha)$ (ici $R_0 = R$)[/center]

D'un pôle à l'équateur de la sphère, on a $X/4$ anneaux.

Soit $x_n$ la distance séparant deux anneaux $R_n$ et $R_{n+1}$. Donc :

$$ \ds\sum_1^{X/4} x_n = R $$



avec $R_n^2 + x_n^2 = R_{n-1}^2$ et $R_{n+1} = R_n \times cos(\alpha)$, on obtient :

$$ \ds\sum_1^{X/4} R_n^2 cos(x_n)^2 - R_n^2 = R $$



Peut-être il y a-t-il d'autres équations permettant de résoudre ce pb.

Merci d'avance de vos lumières sur ce problème

PS : désolé je ne sais pas écrire en LaTeX.

[Edit: MB] LaTeX.
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Messagepar rebouxo » Samedi 07 Octobre 2006, 16:37

Pour le LaTeX, c'est sous les smilies. Tu peux éditer ton message (en haut à droite)
Cela sera plus lisible.
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Messagepar nirosis » Samedi 07 Octobre 2006, 16:47

latex est très simple. Rien de compliqué, par exemple pour $x^2$ tu tapes $ x^2 $ !
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letx ok

Messagepar stello » Samedi 07 Octobre 2006, 17:12

ok, merci beaucoup pour avoir remis en forme mes fomules... :)
maintenant, ça éclaire mieux certaines lanternes. Quelqu'un a-t-il une proposition à faire ?
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Re: Résolution de la boule à facettes

Messagepar MB » Samedi 07 Octobre 2006, 17:17

stello a écrit:D'un pôle à l'équateur de la sphère, on a $X/4$ anneaux.


Pourquoi ? (je ne suis pas certain de tout saisir)
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eclaircissement

Messagepar stello » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:11

En fait, comme X est le nombre de miroirs tout autour d'un anneau, sur la moitié d'un anneaux on en trouvera X/2 et sur le quart (donc du pole nord à O), on aura X/4 anneaux.
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Re: eclaircissement

Messagepar MB » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:24

stello a écrit:En fait, comme X est le nombre de miroirs tout autour d'un anneau, sur la moitié d'un anneaux on en trouvera X/2 et sur le quart (donc du pole nord à O), on aura X/4 anneaux.


Ok, donc les miroirs sont aussi alignés le long des méridiens ?
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méridiens

Messagepar stello » Lundi 09 Octobre 2006, 13:18

ils ne sont pas vraiment alignés sur les méridiens car il est impossible que les miroirs soient alignés (nombre différents de miroirs à chaque anneau) mais de haut en bas, on sait qu'on pourra en trouver tant.

il me semble avoir fait une erreur (écrit xn au lieu de alpha)
donc on avait :

$$ \ds\sum_1^{X/4} R_n^2 cos(\alpha)^2 - R_n^2 = R $$


soit :

$$ \ds\sum_1^{X/4} R_n^2 ( cos(\alpha)^2 - 1 ) = R $$


donc :

$$ \ds\sum_1^{X/4} R_n^2 sin(\alpha)^2 = R $$


comme

$$ sin(\alpha)^2 $$

est une constante :

$$ \ds\sum_1^{X/4} R_n^2 = R/sin(\alpha)^2 $$



ne serait-ce pas une suite géométrique ?
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