résidus sur un demi cercle

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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résidus sur un demi cercle

Messagepar paspythagore » Lundi 27 Mai 2013, 19:18

bonjour.
Je ne comprends pas le corrigé de cet exercice.
Montrer que : $\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos x}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{2e}$

$\ds\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos x}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{2e}$. On considère $f:z\mapsto\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}$ que l'on va intégrer sur le bord de $P_+\cap D(0,R)$ avec $P_+=\{Im z>0\}$. les résidus de $f$ dans le plan supérieur sont $res(i,f)=\dfrac{e^{-1}}{2i}$. D'où $\pi e^{-1}=\ds\int_{\partial(D(0,R)\cap P_+)}f(z)dz=\ds\int_{-R}^0+\ds\int_0^R+\ds\int_{C(0,R)\cap P_+}f(z)dz$. Or le changement de variable réelle $t=-u$ dans la premiére intégrale donne $\ds\int_{-R}^0f(z)dz=\ds\int^R_0\dfrac{e^{-it}}{-+t^2}dt$.
La troisième intégrale se majore par $\Big|\ds\int_{C(0,R)}f(z)dz\Big \leq \pi R\dfrac{1}{R^2-1}$ car $|e^{it}|=e^{-IM t}\leq1$ si $Im t\geq0$.
Faisant tendre $R\to+\infty$, on obtient le résultat.

Je vais procéder par ordre. Pourquoi $f:z\mapsto\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}$ ? A la limite je comprendrai $f:z\mapsto\Big|\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}\Big|$ mais $e^{iz}=\cos z+i\sin z$, que fait t-on du sinus ?
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Re: résidus sur un demi cercle

Messagepar balf » Lundi 27 Mai 2013, 21:11

Parce que, je suppose, cos x est la partie réelle de e$^\mathsf{ix}$.

B.A.
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Re: résidus sur un demi cercle

Messagepar paspythagore » Mardi 28 Mai 2013, 17:53

Oui...
c'est ce que je pensais avoir compris.
Mais peut on écrire :
$\ds\int_{\partial(D(0,R)\cap P_+)}\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}dz=$
$\ds\int_{-R}^0\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}dz+\ds\int_0^R\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}dz+\ds\int_{C(0,R)\cap P_+}\dfrac{e^{iz}}{1+z^2}dz$
que l'on va appeler $I=I_-+I_++I_C$
alors que $z\in\C$ et que $z^2\in\C$
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Re: résidus sur un demi cercle

Messagepar balf » Mardi 28 Mai 2013, 20:27

Pour les deux premières intégrales, z est réel, et pour la dernière, on paramètre le cercle par z = R e$^{\mathsf{it}}$ ; de toute façon il s'agit de majorer cette intégrale en module dans le corrigé.

B.A.
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Re: résidus sur un demi cercle

Messagepar paspythagore » Mercredi 29 Mai 2013, 21:16

$\ds\int_{-R}^0\dfrac{\cos z+i\sin z}{1+z^2}dz+\ds\int_0^R\dfrac{\cos z+i\sin z}{1+z^2}dz$ et comme $\sin z$ est impaire, plus de $\sin$ ?
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Re: résidus sur un demi cercle

Messagepar balf » Mercredi 29 Mai 2013, 23:22

C'est bien ça, en effet.

B.A.
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