Réduction de matrices

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Réduction de matrices

Messagepar pierresimpore » Vendredi 14 Mars 2014, 15:56

Bonjour,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à traiter pouvez vous m'aider.

Soit A une matrice carré dans R.
1) on suppose que A³ = A². montrer que A² est diagonalisable et que A² - A est nilpotente.
2) plus généralement on suppose que A^(k+1) = A^k pour un certain entier k>1 . établir l'existence d'un entier p >(ou=) 1 tel que A^p est diagonalisable et que A^p - A nilpotente.


éléments de réponse:

1) j'ai utiliser le théorème qui dit que A est diagonalisable s'il existe un polynôme P scindé à zéro simple tel que P(A) = 0 .
également j'ai vu que A² - A est nilpotente d'indice 2
2) c'est la 2ieme question qui me pose problème car je ne sais pas ou commencé
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Re: reduction des matrices

Messagepar Minibob59 » Vendredi 14 Mars 2014, 16:21

Bonjour,

C'est bon pour la première question.
Pour la deuxième, il faut adapter la méthode employée à la question (1). Essayez de trouver un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(A^p) = 0$. Un couple solution $(P,p)$ devrait vous sauter aux yeux...
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Re: reduction des matrices

Messagepar pierresimpore » Vendredi 14 Mars 2014, 16:55

ok, merci de m'avoir répondu, si je dois utiliser la même méthode on a
A^k+1 = A^k
A^k ( A - 1) = 0 si je multiplie les deux membres par ( A^(k-1) + .... + 1) je trouve
A^k ( A^k - 1) =0 ce qui signifie qu'il existe un polynôme P (X)= X(X-1) tel que P(X^k) = 0
est ce que c'est bon?
est ce qu'on peut utiliser la récurrence ici?
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Re: reduction des matrices

Messagepar Minibob59 » Vendredi 14 Mars 2014, 17:07

Pas besoin de récurrence : $k$ est fixé, et on remarque que si $P = X(X-1)$, alors $P(A^k) = 0$. On a donc le résultat demandé avec $p = k$ et $P = X(X-1)$.
Ceci dit, on n'a pas répondu à la question, puisque l'entier $p$ doit aussi vérifier la condition $A^p - A$ nilpotente.
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Re: reduction des matrices

Messagepar pierresimpore » Vendredi 14 Mars 2014, 17:19

la question nous dit d'etablir l'existence d'un entier p tel que A^p est diagonalisable et A^p - A nilpotente . pour A^p diagonalisable on a dit qu'il existe un polynome P tel que P(A^p)= 0 d'ou A^p est diagonalisable .maintenant A^p - A nilpotente qu'est qu'il faut faire?
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Re: reduction des matrices

Messagepar Minibob59 » Vendredi 14 Mars 2014, 17:42

En repartant de la définition d'une matrice nilpotente et en cherchant une condition sur l'indice de nilpotence je pense... (le calcul est un peu lourd mais ça se fait).
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Re: Réduction de matrices

Messagepar pierresimpore » Lundi 17 Mars 2014, 14:19

Bonjour, j'ai compris maintenant
merci pour votre aide
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