Réduction de Jordan

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Lundi 17 Mars 2014, 15:06

Bonjour, je ne comprend pas bien la réduction de Jordan :

$$A = \begin{pmatrix} -2& -1& 1& 2\\ 1& -4& 1& 2\\ 0& 0& -5& 4\\ 0& 0& -1& -1\end{pmatrix}$$



1) Montrer que A n'est pas diagonalisable
2) Déterminer une réduite de Jordan en précisant la base et la matrice de passage
3) Calculer la polynôme minimal de A
4) En déduire l'expression de A^-1 et de A^n pour n supérieur ou égal à 1

mes élément de réponse:

1) j'ai pu démontrer que A n'est pas diagonalisable.
P(X) = (X+3)⁴ et le sous espace associé à -3 est de dimension 2
E-3 = Vect { (1,1,0,0) ; (-2,0,1,1/2) }
2) je ne sais pas comment trouver cette reduite
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Re: reduction de jordan

Messagepar balf » Lundi 17 Mars 2014, 18:25

J'imagine que ce que vous notez P(X) est le polynôme caractéristique de A. Il faut déterminer le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre, qui est le plus grand noyau Ker(A+3I)$^{\mathsf k}$ quand on fait croître k (ces noyaux finissent par se stabiliser, et ici, vous savez que k $\leqslant$ 4). Du même coup, vous obtenez le polynôme minimal de u (c'est lui qui fournit le critère pour que u soit diagonalisable).

Pour avoir la forme de Jordan, il faut calculer les dimension des Ker(A+3I)$^{\mathsf k}$ successifs : d₀=0, d₁, …, d$_{\mathsf k}$.Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille $\geqslant$ 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille $\geqslant$ 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale

Pour avoir une base de Jordan, vous partez d'un vecteur non nul qui appartient à Ker(A+3I)$^{\mathsf k}$, mais pas à Ker(A+3I)$^{\mathsf{k-1}$ et vous prenez ses images successives par A ; la dernière est dans le sous-espace propre. On obtient ainsi le début d'une base du sous-espace caractéristique, correspondant un bloc de Jordan. Après, il reste à compléter cette base en utilisant les mêmes méthodes.

B.A.
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Mardi 18 Mars 2014, 15:39

Bonjour, je bloque sur ce niveau:
j'ai calculé les differentes dimensions et je trouve
d1 = 2
d2 = 1
d3 = 4
d4 = 4
maitenant les differences je trouve a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 3 et a4 =0
maitenant vous avez dit : .Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille $\leqslant$ 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille $\leqslant$ 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale . je ne comprend pas bien
PS: ou est est ce que je dois cliquer pour utiliser le latex
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar kojak » Mardi 18 Mars 2014, 17:02

Bonjour,

pierresimpore a écrit:P(X) = (X+3)⁴ et le sous espace associé à -3 est de dimension 2
Oui

pierresimpore a écrit:E-3 = Vect { (1,1,0,0) ; (-2,0,1,1/2) }
Oui, mis à part que le second vecteur n'est pas terrible à cause des fractions, ce qui ne facilitera pas trop les calculs, mais c'est correct.

pierresimpore a écrit:2) je ne sais pas comment trouver cette reduite


Pour toi, comment s'écrit ta matrice de Jordan ? Tu dois bien avoir un cours, non ? d’ailleurs, pourrais tu préciser un peu plus ton niveau, car là, post Bac, c'est trop vague. cpge ? L3 ? ou autre ?
Ensuite, comment faites vous en cours pour trouver une base dans laquelle la matrice est de Jordan ?

Pour moi, le plus simple est de revenir à la définition de l'écriture dune matrice d'un endomorphisme dans une base donnée.

Après, ça dépend aussi de ce que tu as vu en cours...
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar balf » Mardi 18 Mars 2014, 17:05

pierresimpore a écrit:maitenant vous avez dit : .Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille $\leqslant$ 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille $\leqslant$ 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale . je ne comprend pas bien
PS: ou est est ce que je dois cliquer pour utiliser le latex

Désolé, c'est une coquille (maintenant rectifiée). J'aurais dû me relire. Je voulais dire « de blocs de taille $\geqslant$ 1, 2, &c.

Pour le LaTeX, je ne sais plus. Quand je dois vraiment écrire une formule, je me contente de mettre les balises $$…$$ et d'écrire le code LaTeX à l'intérieur. mauis je ne doute pas que quelqu'un va vous dire ça.

B.A.
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Mardi 18 Mars 2014, 17:29

je sais que la matrice de Jordan est une matrice dont la diagonale est formée des valeurs propres de la matrice et la 2e diagonale est formé de 1 . mon niveau: L2
j'ai uncours sur la reduction de jordan mais sans explication.
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar kojak » Mardi 18 Mars 2014, 17:44

pierresimpore a écrit:je sais que la matrice de Jordan est une matrice dont la diagonale est formée des valeurs propres de la matrice et la 2e diagonale est formé de 1
Pas totu à fait.

Ici, tu as une matrice de Jordan de la forme

$$\begin{pmatrix} -3&0&0&0\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&-3&$1\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$



car comme tu as une valeur propre d'ordre 4, et que ton sous espace propre est de dimension 2, tu as tout d'abord $u=(1,1,0,0)$ et $v=(-4,0,2,1)$ base de ce sous espace propre, ce qui correspond aux 2 premiers vecteurs colonnes de cette matrice, car dans cette base, tu as déjà $f(u)=-3u$ et $f(v)=-3v$.

Donc maintenant, il te faut chercher un 3ème vecteur $w$ tel que $f(w)=v-3w$ et ensuite un dernier $t$ tel que $f(t)=w-3t$. C'est bien comme ça qu'on écrit la matrice d'une application linéaire dans une base : l'image des vecteurs de base dans cette base.

Après, je ne sais pas ce que tu as vu en cours, TD.


pierresimpore a écrit:. mon niveau: L2
OK, à l'université, alors. Tu es étudiant ?

pierresimpore a écrit:j'ai un cours sur la réduction de jordan mais sans explication.
tu as du TD ?
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar balf » Mardi 18 Mars 2014, 18:28

pierresimpore a écrit:j'ai calculé les differentes dimensions et je trouve
d1 = 2
d2 = 1
d3 = 4
d4 = 4
maitenant les différences je trouve a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 3 et a4 =0

C'est impossible : la définition même des d_i fait qu'il s''agit d'une suite croissante, et celle des δ_i décroît (vers 0). Vérifiez vos calcuks.

B.A.
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Mercredi 19 Mars 2014, 14:53

Bonjour,
j'ai revérifié mes calculs et je tombe sur les mêmes résultats .
pour le calcul de Ker(A + 3I)² je tombe sur une seule équation de la forme X3 = 2X4 donc on peut dire que X1 = X2 = 0 donc
Ker(A+3I)² = Vect (0,0,2,1) ce qui implique que dim = 1 .
on constate que (A + 3I)³ = 0 ce qui implique que Ker(A+3I)³ = Vect ( de la base canonique ) d’où dim = 4 .également (A + 3I)⁴ = 0 même méthode que la précédent donc dim =4
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar kojak » Mercredi 19 Mars 2014, 15:59

Bonjour,
pierresimpore a écrit:
pour le calcul de Ker(A + 3I)² je tombe sur une seule équation de la forme X3 = 2X4
Correct
pierresimpore a écrit: donc on peut dire que X1 = X2 = 0
Faux. De quel droit tu choisis ces valeurs nulles ? et pourquoi pas $X_3=\pi$ et $X_4=-\sqrt{2}$ ?

pierresimpore a écrit:donc
Ker(A+3I)² = Vect (0,0,2,1) ce qui implique que dim = 1 .
ceci est alors faux.

pierresimpore a écrit:on constate que (A + 3I)³ = 0
Oui
pierresimpore a écrit: ce qui implique que Ker(A+3I)³ = Vect ( de la base canonique ) d’où dim = 4
oui
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Jeudi 20 Mars 2014, 15:11

Bonjour, je vois maintenant
d0 = 0
d1 = 2
d2 = 3 = Vect { 1,0,0,0) ; (0,1,0,0); (0,0,2,1)}
d3 = 4
d4 = 4
ensuite vous avez dit :Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille $\leqslant$ 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille $\leqslant$ 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale .
on a δ₁ = 2 ; δ₂ = 1 ; δ3 = 1 ; δ4 = 0
c'est à dire :
2 blocs de jordan de taille supérieures ou égale à 1
1 bloc de jordan de taille supérieures ou égale à 2
1 bloc de jordan de taille supérieures ou égale à 3
0 bloc de jordan de taille égale à 4
maintenant je sais que les bloque de Jordan sont de la forme J($\lambda$) :
si je prend '' 2 blocs de jordan de taille supérieures ou égale à 1 '' qu'est ce qu'il faut faire parce que là je n'y comprend rien
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar balf » Vendredi 21 Mars 2014, 00:02

Il faut combiner les différences possibilités : il y a 1 bloc de Jordan de dimension 3 (qui est aussi le bloc de Jordan de taille $\leqslant$ 2, et un bloc de Jordan de taille $\leqslant$ 1). Comme la somme des tailles des blocs de Jordan est égale à 4, il y a donc en plus un second bloc de Jordan, de dimension 1. D'où la forme de Jordan de la matrice.

Après, il reste à déterminer une base de Jordan. Pour cela, on choisit un vecteur dans Ker(A + 3I)³ qui ne soit pas dans Ker(A + 3I)². Les vecteurs v, A·v, A²·v sont linéairement indépendants et le dernier est un vecteur propre de A. On vérifie sans peine que la restriction de (l'endomorphisme associé à) A au sous-espace engendré par ces vecteurs a pour matrice, dans la base (v, A·v, A²·v), un bloc de Jordan de dimension 3. On complète cette base en une base de l'espace entier en y rajoutant un vecteur propre de A indépendant de A²·v (vous avez vérifié que le sous-espace propre est de dimension 2) ; il va correspondre au second bloc de Jordan .
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Vendredi 21 Mars 2014, 15:52

Bonjour,
je commence à comprendre un peu :
dim Ker(A+3I) = 2 donc on a deux bloque de jordan pour A et
le plus grand des blocs est de taille 3 alors qu'on a un bloque de taille 3, donc il reste un autre bloc de taille 1 pour former la matrice de jordan ce qui correspond à la matrice suivante

$$\begin{pmatrix} -3&0&0&0\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&-3&$1\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$


maintenant pour les autres questions j'ai compris la méthode
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar pierresimpore » Mardi 25 Mars 2014, 14:55

Bonjour,
j'ai besoin d'un complement d'explication:
concernant la matrice de jordan obtenu, pourquoi ces deux matrices ne conviennent pas :

$$\begin{pmatrix} -3&1&0&0\\ 0&-3&0&0\\ 0&0&-3&$1\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$

et

$$\begin{pmatrix} -3&1&0&0\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&-3&$0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$

.
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Re: Réduction de Jordan

Messagepar balf » Mardi 25 Mars 2014, 22:06

La première parce qu'elle a deux blocs de taille 2. On sait qu'il y a un bloc de taille 3 et un de taille 1. Quant à la seconde, elle est bonne : tout dépend de l'ordre dans lequel on énonce les sous-espaces.

B.A.
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