Réduction de Jordan

[pierresimpore]

Bonjour, je ne comprend pas bien la réduction de Jordan :

1) Montrer que A n'est pas diagonalisable
2) Déterminer une réduite de Jordan en précisant la base et la matrice de passage
3) Calculer la polynôme minimal de A
4) En déduire l'expression de A^-1 et de A^n pour n supérieur ou égal à 1

mes élément de réponse:

1) j'ai pu démontrer que A n'est pas diagonalisable.
P(X) = (X+3)⁴ et le sous espace associé à -3 est de dimension 2
E-3 = Vect { (1,1,0,0) ; (-2,0,1,1/2) }
2) je ne sais pas comment trouver cette reduite

[balf]

J'imagine que ce que vous notez P(X) est le polynôme caractéristique de A. Il faut déterminer le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre, qui est le plus grand noyau Ker(A+3I) quand on fait croître k (ces noyaux finissent par se stabiliser, et ici, vous savez que k 4). Du même coup, vous obtenez le polynôme minimal de u (c'est lui qui fournit le critère pour que u soit diagonalisable).

Pour avoir la forme de Jordan, il faut calculer les dimension des Ker(A+3I) successifs : d₀=0, d₁, …, d.Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale

Pour avoir une base de Jordan, vous partez d'un vecteur non nul qui appartient à Ker(A+3I), mais pas à Ker(A+3I) et vous prenez ses images successives par A ; la dernière est dans le sous-espace propre. On obtient ainsi le début d'une base du sous-espace caractéristique, correspondant un bloc de Jordan. Après, il reste à compléter cette base en utilisant les mêmes méthodes.

B.A.

[pierresimpore]

Bonjour, je bloque sur ce niveau:
j'ai calculé les differentes dimensions et je trouve
d1 = 2
d2 = 1
d3 = 4
d4 = 4
maitenant les differences je trouve a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 3 et a4 =0
maitenant vous avez dit : .Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale . je ne comprend pas bien
PS: ou est est ce que je dois cliquer pour utiliser le latex

[kojak]

Bonjour,

P(X) = (X+3)⁴ et le sous espace associé à -3 est de dimension 2

Oui

E-3 = Vect { (1,1,0,0) ; (-2,0,1,1/2) }

Oui, mis à part que le second vecteur n'est pas terrible à cause des fractions, ce qui ne facilitera pas trop les calculs, mais c'est correct.

2) je ne sais pas comment trouver cette reduite

Pour toi, comment s'écrit ta matrice de Jordan ? Tu dois bien avoir un cours, non ? d’ailleurs, pourrais tu préciser un peu plus ton niveau, car là, post Bac, c'est trop vague. cpge ? L3 ? ou autre ?
Ensuite, comment faites vous en cours pour trouver une base dans laquelle la matrice est de Jordan ?

Pour moi, le plus simple est de revenir à la définition de l'écriture dune matrice d'un endomorphisme dans une base donnée.

Après, ça dépend aussi de ce que tu as vu en cours...

[balf]

maitenant vous avez dit : .Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale . je ne comprend pas bien
PS: ou est est ce que je dois cliquer pour utiliser le latex

Désolé, c'est une coquille (maintenant rectifiée). J'aurais dû me relire. Je voulais dire « de blocs de taille 1, 2, &c.

Pour le LaTeX, je ne sais plus. Quand je dois vraiment écrire une formule, je me contente de mettre les balises $$…$$ et d'écrire le code LaTeX à l'intérieur. mauis je ne doute pas que quelqu'un va vous dire ça.

B.A.

[pierresimpore]

je sais que la matrice de Jordan est une matrice dont la diagonale est formée des valeurs propres de la matrice et la 2e diagonale est formé de 1 . mon niveau: L2
j'ai uncours sur la reduction de jordan mais sans explication.

[kojak]

je sais que la matrice de Jordan est une matrice dont la diagonale est formée des valeurs propres de la matrice et la 2e diagonale est formé de 1

Pas totu à fait.

Ici, tu as une matrice de Jordan de la forme

car comme tu as une valeur propre d'ordre 4, et que ton sous espace propre est de dimension 2, tu as tout d'abord et base de ce sous espace propre, ce qui correspond aux 2 premiers vecteurs colonnes de cette matrice, car dans cette base, tu as déjà et .

Donc maintenant, il te faut chercher un 3ème vecteur tel que et ensuite un dernier tel que . C'est bien comme ça qu'on écrit la matrice d'une application linéaire dans une base : l'image des vecteurs de base dans cette base.

Après, je ne sais pas ce que tu as vu en cours, TD.

. mon niveau: L2

OK, à l'université, alors. Tu es étudiant ?

j'ai un cours sur la réduction de jordan mais sans explication.

tu as du TD ?

[balf]

j'ai calculé les differentes dimensions et je trouve
d1 = 2
d2 = 1
d3 = 4
d4 = 4
maitenant les différences je trouve a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 3 et a4 =0

C'est impossible : la définition même des d_i fait qu'il s''agit d'une suite croissante, et celle des δ_i décroît (vers 0). Vérifiez vos calcuks.

B.A.

[pierresimpore]

Bonjour,
j'ai revérifié mes calculs et je tombe sur les mêmes résultats .
pour le calcul de Ker(A + 3I)² je tombe sur une seule équation de la forme X3 = 2X4 donc on peut dire que X1 = X2 = 0 donc
Ker(A+3I)² = Vect (0,0,2,1) ce qui implique que dim = 1 .
on constate que (A + 3I)³ = 0 ce qui implique que Ker(A+3I)³ = Vect ( de la base canonique ) d’où dim = 4 .également (A + 3I)⁴ = 0 même méthode que la précédent donc dim =4

[kojak]

Bonjour,

pour le calcul de Ker(A + 3I)² je tombe sur une seule équation de la forme X3 = 2X4

Correct

donc on peut dire que X1 = X2 = 0

Faux. De quel droit tu choisis ces valeurs nulles ? et pourquoi pas et ?

donc
Ker(A+3I)² = Vect (0,0,2,1) ce qui implique que dim = 1 .

ceci est alors faux.

on constate que (A + 3I)³ = 0

Oui

ce qui implique que Ker(A+3I)³ = Vect ( de la base canonique ) d’où dim = 4

oui

[pierresimpore]

Bonjour, je vois maintenant
d0 = 0
d1 = 2
d2 = 3 = Vect { 1,0,0,0) ; (0,1,0,0); (0,0,2,1)}
d3 = 4
d4 = 4
ensuite vous avez dit :Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille 1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille 2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale .
on a δ₁ = 2 ; δ₂ = 1 ; δ3 = 1 ; δ4 = 0
c'est à dire :
2 blocs de jordan de taille supérieures ou égale à 1
1 bloc de jordan de taille supérieures ou égale à 2
1 bloc de jordan de taille supérieures ou égale à 3
0 bloc de jordan de taille égale à 4
maintenant je sais que les bloque de Jordan sont de la forme J() :
si je prend '' 2 blocs de jordan de taille supérieures ou égale à 1 '' qu'est ce qu'il faut faire parce que là je n'y comprend rien

[balf]

Il faut combiner les différences possibilités : il y a 1 bloc de Jordan de dimension 3 (qui est aussi le bloc de Jordan de taille 2, et un bloc de Jordan de taille 1). Comme la somme des tailles des blocs de Jordan est égale à 4, il y a donc en plus un second bloc de Jordan, de dimension 1. D'où la forme de Jordan de la matrice.

Après, il reste à déterminer une base de Jordan. Pour cela, on choisit un vecteur dans Ker(A + 3I)³ qui ne soit pas dans Ker(A + 3I)². Les vecteurs v, A·v, A²·v sont linéairement indépendants et le dernier est un vecteur propre de A. On vérifie sans peine que la restriction de (l'endomorphisme associé à) A au sous-espace engendré par ces vecteurs a pour matrice, dans la base (v, A·v, A²·v), un bloc de Jordan de dimension 3. On complète cette base en une base de l'espace entier en y rajoutant un vecteur propre de A indépendant de A²·v (vous avez vérifié que le sous-espace propre est de dimension 2) ; il va correspondre au second bloc de Jordan .

[pierresimpore]

Bonjour,
je commence à comprendre un peu :
dim Ker(A+3I) = 2 donc on a deux bloque de jordan pour A et
le plus grand des blocs est de taille 3 alors qu'on a un bloque de taille 3, donc il reste un autre bloc de taille 1 pour former la matrice de jordan ce qui correspond à la matrice suivante

maintenant pour les autres questions j'ai compris la méthode

[pierresimpore]

Bonjour,
j'ai besoin d'un complement d'explication:
concernant la matrice de jordan obtenu, pourquoi ces deux matrices ne conviennent pas :

et

.

[balf]

La première parce qu'elle a deux blocs de taille 2. On sait qu'il y a un bloc de taille 3 et un de taille 1. Quant à la seconde, elle est bonne : tout dépend de l'ordre dans lequel on énonce les sous-espaces.

B.A.