J'imagine que ce que vous notez P(X) est le polynôme caractéristique de A. Il faut déterminer le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre, qui est le plus grand noyau Ker(A+3I)

quand on fait croître k (ces noyaux finissent par se stabiliser, et ici, vous savez que k

4). Du même coup, vous obtenez le polynôme minimal de u (c'est lui qui fournit le critère pour que u soit diagonalisable).
Pour avoir la forme de Jordan, il faut calculer les dimension des Ker(A+3I)

successifs : d₀=0, d₁, …, d

.Les différences δ₁ = d₁ – d₀ est le nombre de blocs de Jordan de taille

1, δ₂ = d₂ - d₁ le nombre de blocs de taille

2, &c. La dernière est donc le nombre de blocs de Jordan de taille maximale
Pour avoir une base de Jordan, vous partez d'un vecteur non nul qui appartient à Ker(A+3I)

, mais pas à Ker(A+3I)

et vous prenez ses images successives par A ; la dernière est dans le sous-espace propre. On obtient ainsi le début d'une base du sous-espace caractéristique, correspondant un bloc de Jordan. Après, il reste à compléter cette base en utilisant les mêmes méthodes.
B.A.