[DUT] Réduction de Gauss

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[DUT] Réduction de Gauss

Messagepar DaMiEn57 » Dimanche 21 Mars 2010, 19:08

Bonsoir,

J'ai un petit soucis pour effectuer une réduction de Gauss sur une forme quadratique (pour trouver la signature).
Soit $Q$ la forme quadratique définie sur $\R ^3$ par :

$$Q(x,y,z)=2x^2+2y^2+3z^2+4xy-2xz-2yz$$



Je commence par factoriser par $x$ et les doubles produits de $x$ :
$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy-xz)+2y^2+3z^2-2yz$
$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy+2xz-2xz-xz)+2y^2+3z^2-2yz$
$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy+2xz)+2y^2+3z^2-2yz-6xz$
$Q(x,y,z)=2(x+y+z)^2-2y^2-2z^2-4yz+2y^2+3z^2-2yz-6xz$
$Q(x,y,z)=2(x+y+z)^2+z^2-6yz-6xz$

Et je reste bloqué ici car j'obtiens cette expression $z^2-6yz-6xz$ qui dépend encore de $x$...
Alors peut-être que j'ai fait une erreur dans la technique, je sais pas !

Je vous remercie de votre aide. A bientôt.
Soyez réalistes : demandez l'impossible.

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Re: [DUT] Réduction de Gauss

Messagepar kojak » Dimanche 21 Mars 2010, 19:56

bonjour,

DaMiEn57 a écrit:$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy-xz)+2y^2+3z^2-2yz$
OK.

ca provient d'où ceci :

DaMiEn57 a écrit:$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy+2xz-2xz-xz)+2y^2+3z^2-2yz$


Il faut écrire $Q(x,y,z)=2[x^2+(2y-z)x]+\ldots $ et
$x^2+(2y-z)x$ comme différence de 2 carrés $[x+\frac12(2y-z)]^2-(2y-z)^2$ etc.
pas d'aide par MP
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Re: [DUT] Réduction de Gauss

Messagepar OG » Dimanche 21 Mars 2010, 19:59

Bonsoir

Il faudrait que tu reprennes pas à pas la technique vu dans ton cours.
Normalement vu que tu as un $x^2$, la 1ère étape consisterait à faire un carré avec du $x$, du $y$ et du $z$ et éliminer tout terme en $x$ dans ce qui reste.

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Re: [DUT] Réduction de Gauss

Messagepar DaMiEn57 » Dimanche 21 Mars 2010, 22:01

kojak a écrit:bonjour,

DaMiEn57 a écrit:$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy-xz)+2y^2+3z^2-2yz$
OK.

ca provient d'où ceci :

DaMiEn57 a écrit:$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy+2xz-2xz-xz)+2y^2+3z^2-2yz$


Il faut écrire $Q(x,y,z)=2[x^2+(2y-z)x]+\ldots $ et
$x^2+(2y-z)x$ comme différence de 2 carrés $[x+\frac12(2y-z)]^2-(2y-z)^2$ etc.

Je rajoute et retranche $2xz$ afin de faire apparaitre les produits croisés de $(x+y+z)^2$.
Je n'ai aucune technique décrite en cours, juste un exemple simple.
Soyez réalistes : demandez l'impossible.

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Re: [DUT] Réduction de Gauss

Messagepar DaMiEn57 » Dimanche 21 Mars 2010, 23:47

Je pense avoir trouvé mon erreur :

$Q(x,y,z)=2x^2+2y^2+3z^2+4xy-2xz-2yz$
$Q(x,y,z)=2(x^2+2xy-xz)+2y^2+3z^2-2yz$
$Q(x,y,z)=2(x+y-\frac{1}{2}z)^2-2y^2-2\times\frac{1}{4}z^2+2yz+2y^2+3z^2-2yz$
$Q(x,y,z)=2(x+y-\frac{1}{2}z)^2+\frac{5}{2}z^2$

D'où la signature $(2,0)$.
Soyez réalistes : demandez l'impossible.

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