Récurrence, factorielles, sommes

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Récurrence, factorielles, sommes

Messagepar MT » Mardi 06 Mai 2008, 19:34

Bonjour,

je bloque sur une proposition que j'ai à démontrer :

$$\forall p,n\geq 1, \quad S_p(n+1)-(2n+2)S_p(n)+n^2S_p(n-1)=S_{p-1}(n)-S_p(n) $$



$S_p(n)=\sum\limits_{i=0}^{p}\frac{ (n+i)! }{(i!)^2}$.

Je vois bien que c'est une récurrence qu'il faut faire sur n puis sur p (ou l'inverse), mais je bloque déjà à l'initialisation pour $n=1$ : j'arrive pas à vérifier l'égalité
et les calculs sont très "encombrants", et j'en suis à me demander s'il y a en fait une simplification qui intervient dès le départ, qui laisserait appraitre facilement que la propriété est vérifiée pour $n=1$.

Merci de m'aider
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Re: récurrence, factorielles, sommes

Messagepar guiguiche » Mardi 06 Mai 2008, 19:38

Je crois avoir déjà vu cela sur le forum et y avoir déjà répondu : lance une recherche.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: récurrence, factorielles, sommes

Messagepar MT » Mardi 06 Mai 2008, 19:43

j'ai du mal à trouver un mot clé :oops:
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Re: récurrence, factorielles, sommes

Messagepar guiguiche » Mardi 06 Mai 2008, 20:06

effectivement, je ne sais pas où il est caché ce topic.
edit : mais peut-être que je confonds avec un autre topic (je vois que tu es en sup alors que la question me rappelle un énoncé de ECS)

Tu es sûr qu'il y a besoin d'une récurrence ?
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Re: Récurrence, factorielles, sommes

Messagepar MT » Mardi 06 Mai 2008, 20:31

YATAAAA j'ai trouvé :P


en fait non ( c'est pas obligatoirement une réccurence)
c'est en fait un sujet de DS, qui est devenu DM parce qu'il n'as pas trop été réussi :| La prof nous a donné quelques indications, et pour cette question là, elle a dit que c'était tout ce qu'il y avait de plus trivial, et que de toute façon, en dernier recours une récurrence "propre" sur p et n distingués, ça marchait très bien...mais elle a dit aussi qu'il y avait plein de méthode beaucoup moins compliqué : effectivement, un vulgaire réduction au même dénominateur, et quelques développements factorisations choisie suffisent :D

Merci pour cette suggestion guiguiche
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