Racines n-ièmes de l'unité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Racines n-ièmes de l'unité

Messagepar MT » Jeudi 31 Janvier 2008, 20:57

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème avec un calcul : résolution de l'équation

$$ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1$$

.

A priori, $ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1\Longleftrightarrow \exists k \in [0,2n+1]\cap \mathbb{N}, \frac{x+i}{x-i}=e^{i\frac{2k\pi}{2n+1}} $. Mais ce n'est pas vrai pour $k=0$. Je n'ai jamais rencontré ce problème, et je ne comprends même d'où il peut bien provenir. En principe, avec ce genre de choses, on résout par équivalence tout du long ! Je ne comprend pas ce qui se passe !
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Re: racines $n$-ièmes de 1

Messagepar dark_forest » Jeudi 31 Janvier 2008, 21:03

Si ca marche, juste que l'équation $X^{2n+1}=1$ admet $2n+1$ solutions, toi tu en as pris $2n+2$.
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Re: racines $n$-ièmes de 1

Messagepar OG » Jeudi 31 Janvier 2008, 21:05

MT a écrit:Bonjour à tous,

J'ai un petit problème avec un calcul : résolution de l'équation

$$ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1$$

.

A priori, $ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1\Longleftrightarrow \exists k \in [0,2n+1]\cap \mathbb{N}, \frac{x+i}{x-i}=e^{i\frac{2k\pi}{2n+1}} $. Mais ce n'est pas vrai pour $k=0$. Je n'ai jamais rencontré ce problème, et je ne comprends même d'où il peut bien provenir. En principe, avec ce genre de choses, on résout par équivalence tout du long ! Je ne comprend pas ce qui se passe !


Bonsoir

En fait ça ne pose pas de problème. Il est clair que $(x+i)/(x-i)=1$ n'a pas de solution, donc forcément tu enlèves au moins
une des racines n-èmes possible.
Il y a une autre explication (a posteri) si tu développes les termes en $x^{2n+1}$ s'éliminent, d'où un polynôme de degré
$2n$ à résoudre, soit $2n$ solutions au plus.

Cordialement
O.G.
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Re: racines $n$-ièmes de 1

Messagepar guiguiche » Jeudi 31 Janvier 2008, 21:33

Il reste encore à résoudre l'équation $\dfrac{x+i}{x-i}=\exp\left(\dfrac{2ik\pi}{2n+1}\right)$ pour tout $k\in\llbracket1,2n\rrbracket$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: racines $n$-ièmes de 1

Messagepar MT » Jeudi 31 Janvier 2008, 21:58

si $n$ est fixé, et pas trop grand, je veux bien qu'on s'amuse à faire ballader $k$ dans l'intervalle, mais je ne vois pas comment le faire pour $n$ quelconque. C'est un peu par harsard que j'ai remplacé $k$ par 0 pour voir que c'était incompatible, et c'est ce qui m'inquiète un peu je dois dire. :?
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Re: racines $n$-ièmes de 1

Messagepar guiguiche » Jeudi 31 Janvier 2008, 22:04

Pour chaque valeur de l'entier $k$, l''équation à résoudre est une brave équation du premier degré donc à la portée d'un élève de CPGE :wink:
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Racines n-ièmes de l'unité

Messagepar MT » Jeudi 31 Janvier 2008, 22:21

je sais que $n$ est fixé par rapport à $k$, mais on travail pour tout $n$ dans l'exercice.
Tout ce que j'arrive à faire, c'est réarranger l'équation pour pouvoir lire $x$ et voir s'il est défini. Ca permet d'éliminer $k=0$, mais le fait qu'on soit obligé d'abandonner les équivalences en cours de route, j'ai plus vraiment confiance.
Je pense que je dois juste m'y faire, et je crois que l'explication de OG va m'y aider. C'est juste que j'avais jamais vu ça et que ça me donnait l'impression de travailler avec des implications inversée $\Longleftarrow$ :mrgreen:

Enfin, je vous remercie tous les deux
Passez une bonne nuit !
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