Question injection

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Question injection

Messagepar lili2006 » Dimanche 01 Octobre 2006, 21:37

Bonjour, je cherche à démontrer que la fonction suivante est injective:

$f(x,y)=x + \dfrac{(x+y)(x+y+1)}{2}$

Merci d'avance!!

[Edit Arnaud : correction LaTeX]
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Messagepar Arnaud » Dimanche 01 Octobre 2006, 21:43

Qu'as tu tenté ?
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Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

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Messagepar lili2006 » Lundi 02 Octobre 2006, 07:12

J'ai tenté par la définition f(x,y)=f(x',y') implique x=x' mais je ne m'en sors pas dans le calcul.
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Messagepar lili2006 » Lundi 02 Octobre 2006, 07:12

pardon x=x' et y=y'
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Messagepar la main gauche » Lundi 02 Octobre 2006, 08:31

Et as-tu essayé de démontrer qu'elle n'est pas injective ? :)

En général pour travailler en plusieurs variables, on considère qu'une variable est *mobile* et les autres *fixées* pour pouvoir utiliser les techniques connues en une variable. Par exemple, ici tu peux poser

$$
 A_x(y) = f(x,y)
 $$


pour étudier une famille de fonctions $A_x$, chacune à une variable. La différence est essentiellement psychologique, mais en général ça aide.

Querstion: quels sont les polynômes de degré deux en $y$ qui sont des fonctions injectives?
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Messagepar MB » Lundi 02 Octobre 2006, 10:47

lili2006 a écrit:pardon x=x' et y=y'


Je rappelle en passant qu'ici on peut éditer les messages pour effectuer des corrections. :wink:
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Messagepar Samurai_2k5 » Lundi 02 Octobre 2006, 12:53

je ne pense pas que $f$ soit injective sur $R^2$. :D

Pour$x=-1$ on a : $f(-1,1)=f(-1,0)=-1$.

Tu es bien sur de l"expression de $f$ ??
_ rien a faire, je suis perdu
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Messagepar guiguiche » Lundi 02 Octobre 2006, 19:26

Je suis sûr de l'injectivité de $\N^2$ dans $\N$ (et même de la bijectivité). Pour $\R$, je n'en sais rien.
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Messagepar lili2006 » Mardi 03 Octobre 2006, 20:39

c'est bien de IN^2 dans IN.
En fait je dois fixer une variable, montrer que ça marche avec l'autre et puis inversement?C'est ça?
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Messagepar guiguiche » Mercredi 04 Octobre 2006, 10:21

On suppose que $f(x,y)=f(x',y')$. On peut montrer que $x=x'$ et $y=y'$ en établissant que $x=x'$ et $x+y=x'+y'$ puisque l'on peut remarquer que:

$$f(x,y)=x+\displaystyle{\sum_{i=1}^{x+y}{i}}$$

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