Question de notations

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Question de notations

Messagepar Sumbebkum » Vendredi 31 Mai 2013, 17:48

Bonjour,

Je lis à plusieurs endroits la chose suivante pour un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ ouvert, borné et connexe:
$\phi \in C_c^1(\Omega, \mathbb{R}^2), \|\phi \|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq 1$ et j'avoue chercher, je ne trouve pas la définition de $ \|\phi \|_{L^{\infty}(\Omega)} $. Je connais la norme $L^p$ pour des fonction $f : \Omega \to \mathbb{R}$ mais là je vois pas...
(ici http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation#Locally_BV_functions par exemple).

Merci beaucoup d'avance pour vos éclaircissements,

S.
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Re: Question de notations

Messagepar balf » Vendredi 31 Mai 2013, 19:08

Il s'agit sans doute de l'espace des classes de fonctions essentiellement bornées (bornées en dehors d'un ensemble négligeable) ; la norme est la borne supérieure essentielle, ou plutôt la norme déduite de la semi-norme fournie par la borne supérieure essentielle, par passage au quotient modulo l'égalité presque partout. Si la mesure est σ-finie, c'est le dual de l'espace L¹.

Quant à C¹_c, je suppose qu'il s'agit des fonctions de classe C¹ à support compact ?
Mais tout cela fait maintenant partie du programme de 6e ? :wink:

B.A.
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Re: Question de notations

Messagepar Sumbebkum » Vendredi 31 Mai 2013, 19:37

:),d'accord donc
$\|\phi(x)\|_{L^{\infty}(\Omega)} = \textup{supess}_{x \in \Omega} \|\phi(x)\|$
mais dans ce cas, quelle est la norme $\|\cdot \|$
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Re: Question de notations

Messagepar balf » Vendredi 31 Mai 2013, 19:43

Je ne comprends pas la question. De quoi parlez-vous, avec la norme $\|\cdot\|$ ?

B.A.
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Re: Question de notations

Messagepar Sumbebkum » Vendredi 31 Mai 2013, 21:07

$\phi: \Omega \to \mathbb{R}^2$ et donc $\phi(x)$ est un vecteur, du coup je ne vois pas ou on prend le sup.....
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Re: Question de notations

Messagepar balf » Vendredi 31 Mai 2013, 22:38

Φ ́ταντ̓ σθππορτ ψομπαψτ. :mrgreen: Je reprends (j'étais resté en clavier grec !) : Φ étant à support compact, le sup de la norme des Φ(x) existe bien, non ? Quant au choix de la norme dans R², elle n'a pas d'importance : toutes sont équivalentes.

B.A.
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Re: Question de notations

Messagepar Sumbebkum » Vendredi 31 Mai 2013, 23:47

:D, effectivement je me prends la tête pour rien... Merci beaucoup pour votre réponse :).
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