[Topologie][Résolu] Quand le dessin est clair...

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[Topologie][Résolu] Quand le dessin est clair...

Messagepar Minibob59 » Dimanche 19 Janvier 2014, 16:58

Bonjour à tous !

paspythagore, avec ses soucis de fermés, m'a redonné envie de me plonger dans un cours de topologie. Mais du coup, j'ai moi aussi eu quelques problèmes... ^^

On considère $(X, \mathrm{d})$ un espace métrique et $A,B \subset X$. On suppose que $\bar{A} \cap B = A \cap \bar{B} = \emptyset$. Montrer qu'il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $X$ tels que $A \subset U$ et $B \subset V$.

Je précise qu'il s'agit de la 4e question d'un exercice qui porte sur la fonction $f_Y$ définie comme suit : $Y$ est une partie de $X$ et pour tout $x \in X$, $f_Y(x) = \displaystyle\inf_{y\in Y} \mathrm{d}(x,y)$.
On démontre entre autre que $f_Y$ est 1-lipschitzienne, que $y \in \bar{Y} \iff f_Y(y) = 0$, et que l'ensemble des fermés de $X$ est égale à l'ensemble des zéros des fonctions continues à valeurs réelles définies sur $X$.

Mon problème est donc de construire les ouverts $U$ et $V$, sachant que si on fait un dessin avec des patates, on se rend bien compte qu'ils existent...
Dernière édition par Minibob59 le Mardi 21 Janvier 2014, 09:54, édité 1 fois.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar balf » Dimanche 19 Janvier 2014, 17:09

Les ouverts U et V doivent bien entendu être disjoints, je présume ?

B.A.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar Minibob59 » Dimanche 19 Janvier 2014, 17:15

Effectivement, c'est une condition que j'ai oubliée de mentionner... ^^
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar balf » Lundi 20 Janvier 2014, 00:25

Réflexion, en passant : on peut en tout cas supposer que A et B soient fermés. On est ramené alors à montrer que X est un espace normal, c.-à-d. que deux fermés disjoints possèdent des voisinages ouverts disjoints.

B.A.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar Minibob59 » Lundi 20 Janvier 2014, 10:29

Je ne pense pas que l'on puisse faire cette hypothèse...
Par exemple, je me place dans le plan $\mathbb{R}^2$. Je considère le carré dont les sommets sont les points de coordonnées $(0,0)$, $(0,1)$, $(-1,1)$ et $(-1,0)$, je note $A$ son intérieur et sa frontière sauf le segment $(0,0) -- (0,1)$. Je note alors $B$ le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des ordonnées. Les ensembles $A$ et $B$ ne sont ni des ouverts, ni des fermés, et ils vérifient bien les hypothèses de l'énoncé. On arrive facilement à construire les ouverts $U$ et $V$ (on prend des carrés plus grands simplement).

C'est le cas qui me pose problème en fait : le cas où les ensembles $A$ et $B$ sont collés mais disjoints.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar balf » Lundi 20 Janvier 2014, 11:16

On peut faire cette hypothèse en travaillant dans le sous-espace $\mathsf{X' = X \setminus \overline{A}\cap \overline{B}}$ ; on remarque que les ouverts de X' sont aussi des ouverts de X et les adhérences de $\mathsf{A' = A \cap X'}}$ et de $\mathsf{B' = B \cap X}$ dans X' sont disjointes.

B.A.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar OG » Lundi 20 Janvier 2014, 21:22

Bonsoir

Les dessins en topologie, vu les possibilités psychédéliques des ouverts/fermés/denses/etc, je m'en méfierais tout de même.

Ici je pense que pour construire $U$ de la forme $\cup_{x\in A} B(x,\varepsilon_x)$ il faut choisir un $\varepsilon_x$ qui va bien.
Comme $d(x,\bar{B})>0$ pour tout $x\in A$, prendre $0<\varepsilon_x < d(x,\bar{B})/4$ (ou $/2$) et faire le symétrique pour $V$
fera (je crois) fonctionner la machine à topologie.

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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar Minibob59 » Lundi 20 Janvier 2014, 22:42

C'est vrai que les dessins sont parfois (souvent ^^) trompeurs en topologie, mais ça donne quand même des idées, et je trouve que c'est bien pour se représenter les choses en première approche.

La solution proposée avec l'union des boules $B(x, \varepsilon_x)$ ne me paraît pas mal du tout. Il faut que je la rédige bien pour en être parfaitement convaincu, mais je pense que ça marche bien avec $\varepsilon_x = \mathrm{d}(x, \bar{B})/2$.

Je ne pense pas assez à cette définition d'un ouvert (par la réunion des boules centrées en les points constituant cet ouvert), mais vu comment était tourné l'exercice, je suis sûr qu'il y a une autre façon de répondre à la question, en utilisant la fonction $f_Y$$Y \in \left\lbrace A, B, \bar{A}, \bar{B}, \dots \right\rbrace$. On doit pouvoir définir les ouverts $U$ et $V$ comme quelque chose dépendant d'un $f^{-1}_Y(\left\{ 0 \right\})$, mais il faut trouver le bon $Y$...
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar balf » Lundi 20 Janvier 2014, 23:47

Il me semble que la réunion des boules ne fournit, dans un premier temps en tout cas, qu'un ouvert U qui contient A et est disjoint de B, mais pas l'ouvert V qui contiendrait B et serait disjoint de U.

B.A.
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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar OG » Mardi 21 Janvier 2014, 09:32

Je n'ai pas trop le temps de tout écrire en détails. Si $x$ dans $A$ et $y$ dans $B$, alors $d(x,y)\geq d(x,\bar{B})$ et
$d(x,y)\geq d(y,\bar{A})$. Avec le choix de $\varepsilon_x$ et $\varepsilon_y$ liés aux distances/2, il me semble
que $B(x,\varepsilon_x)$ et $B(y,\varepsilon_y)$ sont bien d'intersection vide.

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Re: [Topologie] Quand le dessin est clair mais pas la rédact

Messagepar Minibob59 » Mardi 21 Janvier 2014, 09:53

La solution proposée par OG fonctionne : si on prend $x \in A$ et $y \in B(x, \varepsilon_x)$$\varepsilon_x = \mathrm{d}(x, \bar{B})/4$, alors on montre avec des manipulations d'inégalités triangulaires que $\mathrm{d}(y, \bar{B}) \geq 3\varepsilon_x$ (ce qui est assez intuitif). De ce fait, l'ouvert $U$ contient $A$ par construction et vérifie $U \cap \bar{B} = \varnothing$.
La justification apportée par OG dans le post précédent précise que si $x \in U$ et $y \in V$ (ouvert construit symétriquement), on a nécessairement $x \neq y$, d'où $U \cap V = \varnothing$.

Merci pour vos réponses !
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