Prolongement par continuité

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Prolongement par continuité

Messagepar Alphonse BC » Mercredi 11 Octobre 2006, 13:18

J'ai un petit problème que je dois résoudre mais je sèche. Si quelqu'un a la réponse a mon problème, qu'il ne se gène pas pour m'en faire part :


On considère la fonction $\Xi$ définie par :

$$\Xi(\nu) = \int_0^\nu \frac{\eta^3}{e^\eta -1} \; d\eta.$$


Montrer que l'on peut prolonger les dérivées k-ièmes de $\Xi$ par continuité en 0 jusqu'à un rang $k_{max}$ à préciser. Donner les valeurs de ces prolongements.


A priori, $k_{max} \geqslant 5$. J'ai dérivé 5 fois $\Xi$ (je me suis bien marré : y avais des erreurs de calculs aux quatre coins de mon brouillon!!!) et j'ai obtenu des fonction prolongeables par continuité en 0. Grace à Maple j'ai meme dérivé la fonction en question 10 fois et apparemment, c'est encore prolongeable!! Je suppose donc qu'il faut trouver une expression de $\Xi^{(n)}(\nu)$ en fonction de n et trouver à partir de quel rang $\Xi^{(n)}(\nu)$ diverge en 0.

Je remerci d'avance tous ceux qui vont se pencher sur le problème et qui éclaireront ma lanterne!!!

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Messagepar guiguiche » Mercredi 11 Octobre 2006, 13:23

Tu as reposté ton message d'hier ?
Si personne n'a donné de réponse, c'est peut-être que personne n'en a à te fournir.
Sinon, as-tu essayé un développement limité de ta fonction en 0 (ou de sa dérivée) ?
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Messagepar la main gauche » Jeudi 12 Octobre 2006, 08:55

On dirait que, la fonctions sous le signe somme est analytique et l'intégrale définit une fonction analytique de sa borne supéreirure, on dirait donc que kmax est assez grand (infini). Pour calculer les dérivéees, on peut faire un DSE et intégrer terme à terme la série obtenue.
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Messagepar Alphonse BC » Jeudi 12 Octobre 2006, 15:26

Je suis d'ccord pour dire que $k_{max}$ soit grand mais je ne pense pas que $k_{max} = +\infty$ puisque dans le problème on me demande justement de montrer qu'un tel k existe et est fini.

J'ai essayé avec les developpement de Taylor mais pour moi $k_{max} = +\infty$.

Si quelqu'un y voit plus clair que moi, qu'il vienne m'aider : je lui en serai très reconnaissant!!! (d'ailleurs je remercie ceux qui se sont penché un peu sur le sujet pour me donner des pistes...)

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Messagepar la main gauche » Vendredi 13 Octobre 2006, 06:56

Il ne faut pas toujours faire confiance aux énoncés des exos. Si tu arrives à démontrer proprement que $\Xi$ est analytique, c'est toi qui a raison.
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Messagepar Alphonse BC » Vendredi 13 Octobre 2006, 12:13

Tu as tout a fait raison. D'autant que je viens de prouver que $\Xi$ était analytique. Elle est donc $\mathcal{C}^\infty$ en 0 et l'énoncé du problème est bidon!!! Mystère élucidé!

Merci pour votre aide!

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